考点一 导数及其几何意义1．(2022·大纲全国，7)曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A．2eB．eC．2D．1解析 由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.答案 C2．(2022·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0B．1C．2D．3解析 y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案 D3．(2022·江西，4)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为( )A．(0，＋∞)B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1，0)解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0，解得－1<x<0(舍)或x>2，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．答案 C4．(2022·大纲全国，8)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )A.B.C.D．1解析 y′＝－2e－2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1，0)，所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.7\n答案 A5．(2022·江西，13)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析 由题意有y′＝－e－x，设P(m，n)，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m＝－ln2，所以n＝e－(－ln2)＝2.答案 (－ln2，2)6．(2022·江西，13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．解析 令ex＝t，则x＝lnt，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.答案 27．(2022·陕西，15)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．解析 ∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有＝－＝－1，又∵x0＞0，∴x0＝1，故xP(1，1)．答案 (1，1)8．(2022·北京，18)设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．(1)解 设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1.(2)证明 令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．7\ng(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0<x<1时，x2－1<0，lnx<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．考点二 定积分与微积分基本定理1．(2022·陕西，3)定积分(2x＋ex)dx的值为( )A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析 (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.答案 C2．(2022·江西，8)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )A．－1B．－C.D．1解析 因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以x2＋c＝x2＋20，解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx＝dx＝|＝－.答案 B3．(2022·山东，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A．2B．4C．2D．4解析 由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝|＝4.答案 D4．(2022·湖南，9)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x7\n)的图象的一条对称轴是( )A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝解析 由定积分sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)0＝cosφ－sinφ＋cosφ＝0，得tanφ＝，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin(k∈Z)，由正弦函数的性质知y＝sin与y＝sin的图象的对称轴相同，令x－＝kπ＋，则x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝kπ＋π(k∈Z)，当k＝0，得x＝，选A.答案 A5．(2022·湖北，6)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A．0B．1C．2D．3解析 对于①，sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数．选C.答案 C6．(2022·北京，7)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )A.B．2C.D.解析 由题意可知，l的方程为y＝1.如图，B点坐标为(2，1)，∴所求面积S＝4－2dx＝7\n4－2＝，故选C.答案 C7．(2022·江西，6)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1解析 S1＝x2dx＝x3＝，S2＝dx＝lnx＝ln2，S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)>e>＞ln2，所以S2<S1<S3，故选B.答案 B8．(2022·湖北，7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2解析 由v(t)＝0得t＝4.故刹车距离为s＝v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln5.答案 C9．(2022·湖北，3)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )A.B.C.D.解析 根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)，因为f(x)的图象过(0，1)点，所以－a＝1，即a＝－1，所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.它与x轴所围图形的面积为f(x)dx＝2f(x)dx＝2(－x2＋1)dx7\n＝2＝2×＝.故选B.答案 B10．(2022·湖南，11)∫(x－1)dx＝________．解析 (x－1)dx＝0＝×22－2＝0.答案 011．(2022·天津，11)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．解析 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图，由得A(1，1)，面积S＝xdx－x2dx＝x20＝－＝.答案 12．(2022·陕西，11)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________．解析 ∵1>0，∴f(1)＝lg1＝0，∴f(f(1))＝f(0)．又∵0≤0，∴f(f(1))＝f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3＝1，∴a＝1.答案 113．(2022·陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，设抛物线方程为y＝ax2，将点(5，2)代入抛物线方程得a＝，7\n故抛物线方程为y＝x2，抛物线的横截面面积为S1＝2dx＝2＝(m2)，而原梯形上底为10－×2＝6(m)，故原梯形面积为S2＝(10＋6)×2＝16，＝＝1.2.答案 1.27
