考点一 导数的概念及几何意义1．(2022·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝x3－x2－xB．y＝x3＋x2－3xC．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y＝－x，在(2，0)处的切线方程为y＝3x－6，以此对选项进行检验．A选项，y＝x3－x2－x，显然过两个定点，又y′＝x2－x－1，则y′|x＝0＝－1，y′|x＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.法二 设该三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题设有解得a＝，b＝－，c＝－1，d＝0.故该函数的解析式为y＝x3－x2－x，选A.答案 A2．(2022·大纲全国，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则5\na＝( )A．9B．6C．－9D．－6解析 求导数得y′＝4x3＋2ax，将－1代入值为8，则a＝－6.答案 D3．(2022·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．解析 f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.答案 14．(2022·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．解析 由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案 85．(2022·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．解析 由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋ (1)．又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－ (2)．由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.答案 －36．(2022·广东，11)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．解析 由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.答案 5x＋y＋2＝07．(2022·广东，12)若曲线y＝ax2－lnx在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．5\n解析 由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝.答案 8．(2022·北京，20)已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)解 (1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)．整理得4x－6x＋t＋3＝0.设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，g(x)与g′(x)的情况如下：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗t＋3↘t＋1↗所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．5\n当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．考点二 导数的运算1．(2022·湖南，7)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )A．－B.C．－D.解析 y′＝＝，所以y′|x＝＝＝.答案 B2．(2022·天津，11)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．解析 f′(x)＝alnx＋ax·＝a(lnx＋1)，由f′(1)＝3得，a(ln1＋1)＝3，解得a＝3.答案 33．(2022·北京，18)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解 由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．5\n(1)∵曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，∴f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘1↗∴函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．若b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点．当b＞1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1＞4b－2b－1＞b，f(0)＝1＜b，∴存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b，由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b＞1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．5
