考点 指数与指数函数1．(2022·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．c＜b＜a解析 由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.答案 B2．(2022·山东，3)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.答案 C3．(2022·四川，8)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析 由题意知∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24.答案 C4．(2022·山东，5)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )3\nA．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)D.＞解析 根据指数函数的性质得x＞y，此时，x2，y2的大小不确定，故选项C、D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知选项B中的不等式不恒成立；根据不等式的性质知选项A中的不等式恒成立．答案 A5．(2022·陕西，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A．f(x)＝x3B．f(x)＝3xC．f(x)＝xD．f(x)＝解析 根据和的函数值等于函数值的积的特征，其典型代表函数为指数函数，又所求函数为单调递增函数，故选B.答案 B6．(2022·四川，4)函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )解析 当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以y＝ax－a的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.答案 C7．(2022·山东，3)若点(a，9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )A．0B.C．1D.解析 因为3a＝9，所以a＝2，所以tan＝tan＝tan＝，故选D.答案 D8．(2022·北京，10)2－3，3，log25三个数中最大的数是________．解析 2－3＝<1，又因为2<22<5，所以log22<log222<log25，3\n即<log25.所以最大值为log25.答案 log259．(2022·上海，6)方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．解析 方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x＞0，∴2x＝3，∴x＝log23.答案 log2310．(2022·上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．解 (1)当a＞0，b＞0时，因为y＝a·2x，y＝b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a＜0，b＜0时，因为y＝a·2x、y＝b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0.当a＜0，b＞0时，＞－，解得x＞log；当a＞0，b＜0时，＜－，解得x＜log.3
