考点一 函数的单调性1．(2022·新课标全国Ⅱ，12)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )A.B.∪(1，＋∞)C.D.∪解析 由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，得f′(x)＝＋＞0，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1，故选A.答案 A2．(2022·北京，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|解析 分别画出四个函数的图象，如图：因为对数函数y＝lnx的定义域不是R，故首先排除C；因为指数函数y＝e－x，即y＝，在定义域内单调递减，故排除A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.答案 B3．(2022·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋17\nC．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x解析 因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝在(－∞，0)上是单调递增的，又y＝为偶函数，故A对；y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；y＝x3为奇函数，故C错；y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．所以选A.答案 A4．(2022·北京，3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|解析 根据题意逐一验证，可知y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数．答案 C5．(2022·天津，7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )A．[1，2]B.C.D．(0，2]解析 因为loga＝－log2a，所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C.答案 C6．(2022·新课标全国Ⅱ，12)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)解析 由题意可得，a＞x－(x＞0)．7\n令f(x)＝x－，该函数域(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，存在正数x使原不等式成立．答案 D7．(2022·陕西，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝D．y＝x|x|解析 逐一验证，易知y＝x|x|为奇函数且为增函数，故选D.答案 D8．(2022·新课标全国，3)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|解析 A中y＝x3是奇函数不满足题意；由y＝|x|＋1的图象观察可知，B满足题意；C中y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意；D中y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意，故选B.答案 B9．(2022·福建，5)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．解析 ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.答案 110．(2022·安徽，13)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．解析 ∵f(x)＝∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴－＝3，∴a＝－6.答案 －67\n考点二 函数的奇偶性与周期性1．(2022·北京，3)下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x解析 由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数．答案 B2．(2022·福建，3)下列函数为奇函数的是( )A．y＝B．y＝exC．y＝cosxD．y＝ex－e－x解析 由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.答案 D3．(2022·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋D．y＝x2＋sinx解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D.答案 D4．(2022·新课标全国Ⅰ，12)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )A．－1B．1C．2D．4解析 设f(x)上任意一点为(x，y)关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.答案 C5．(2022·新课标全国Ⅰ，5)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，7\nf(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.答案 C6．(2022·广东，5)下列函数为奇函数的是( )A．y＝2x－B．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x解析 选项B中的函数是偶函数；选项C中的函数也是偶函数；选项D中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A中的函数是奇函数．答案 A7．(2022·重庆，4)下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x解析 函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.答案 D8．(2022·湖南，4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )A．4B．3C．2D．1解析 由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有解得g(1)＝3.答案 B9．(2022·山东，3)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )A．2B．1C．0D．－2解析 由题意得f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.答案 D10．(2022·重庆，9)已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝( )A．－5B．－1C．3D．4解析 ∵log210＝，∴lg(log210)＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)．7\n令g(x)＝ax3＋bsinx，易知g(x)为奇函数．∵f(lg(log210))＝f(－lg(lg2))＝g(－lg(lg2))＋4＝5，∴g(－lg(lg2))＝1.∴g(lg(lg2))＝－1.∴f(lg(lg2))＝g(lg(lg2))＋4＝－1＋4＝3.故选C.答案 C11．(2022·广东，4)下列函数为偶函数的是( )A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝ln解析 因为f(－x)＝ln＝ln＝f(x)，所以f(x)＝ln是偶函数，故选D.答案 D12．(2022·湖北，3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )A．ex－e－xB.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)D.(ex－e－x)解析 令x＝－x，则有f(－x)＋g(－x)＝e－x⇒f(x)－g(x)＝e－x，①又∵f(x)＋g(x)＝ex，②由①②可得g(x)＝，故选D.答案 D13．(2022·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．解析 因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案 314．(2022·安徽，14)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________．解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f7\n＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.答案 15．(2022·四川，13)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．解析 由已知易得f＝－4×＋2＝1，又由函数的周期为2，可得f＝f＝1.答案 116．(2022·浙江，16)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________．解析 ∵f(x)为周期为2的偶函数，∴f＝f＝f＝＋1＝.答案 7
