A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为( )A．y＝B．y＝lgxC．y＝cosxD．y＝x2解析 首先y＝cosx是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊂(0，π)，故y＝cosx满足条件．故选C.答案 C2．(2022·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( )A．y＝sinxB．y＝ln(－x)C．y＝exD．y＝ln解析 y＝sinx与y＝ln(－x)都是奇函数，y＝ex为非奇非偶函数，y＝ln为偶函数，故选D.答案 D3．(2022·山东日照模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( )A．4B．－4C．6D．－6解析 由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4，选B.答案 B二、填空题4．(2022·江苏南京模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(－1，1)且g(x)＝f(x－1)，则f(2013)＋f(2014)＝________．解析 f(x)＝f(－x)＝g(1－x)＝－g(x－1)＝－f(x－2)＝f(x－4)，∴f(2013)＝f(1)＝g(0)＝0，f(2014)＝f(2)＝g(－1)＝1.∴f(2013)＋f(2014)＝1.答案 16\n5．(2022·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．解析 ∵函数f(x)＝x3＋3x是奇函数，且在定义域上单调递增，∴由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，即mx－2<－x，∴(m＋1)x<2，当x＝0时，不等式(m＋1)x<2恒成立．当－1<m≤2时，x<恒成立，此时x<＝；当－2≤m＜－1时，x>恒成立，此时x>－2，综上x∈.答案 三、解答题6．(2022·德州模拟)已知函数f(x)＝.(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．(1)证明 任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝－.∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．(2)解 法一 f(x)＝＝a－，设x1<x2<－1，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝，又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)>0.由于x1<x2<－1，∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，∴a＋1<0，即a<－1.故a的取值范围是(－∞，－1)．6\n法二 由f(x)＝，得f′(x)＝，又因为f(x)＝在(－∞，－1)上是减函数，所以f′(x)＝≤0在x∈(－∞，－1)上恒成立，解得a≤－1，而a＝－1时，f(x)＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a的取值范围是(－∞，－1)．一年创新演练7．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：(1)函数f(x)是周期函数；(2)函数f(x)的图象关于点对称；(3)函数f(x)为R上的偶函数；(4)函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析 由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，(1)为真命题；又y＝f关于(0，0)对称，y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的图象关于对称，(2)为真命题；又y＝f为奇函数，所以f＝－f，f＝－f＝－f(－x)，∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数，(3)为真命题，(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)．答案 (1)(2)(3)B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·金华十校联考)已知f(x)为奇函数，在[3，6]上是增函数，且在[3，66\n]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)等于( )A．－15B．－13C．－5D．5解析 ∵函数在[3，6]上是增函数，∴f(6)＝8，f(3)＝－1，又函数为奇函数，∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15，选A.答案 A9．(2022·江西盟校联考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为( )A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)解析 f(x)的图象如图．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)<0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．∴x∈(－1，0)∪(1，3)，故选C.答案 C10．(2022·天津河西模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )A．0B．0或－C．－或－D．0或－解析 ∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象如图所示．显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0，2]内恰有两个不同的公共点．另当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同的公共点，由题意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝.6\n∴A，又A点在y＝x＋a上，∴a＝－，综上知选D.答案 D二、填空题11．(2022·江苏南通三模)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则f，f(2)，f(3)从小到大的关系是________．解析 由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称；根据③可知函数f(x)在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1，2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1<<2，所以f(1)<f<f(2)，即f(3)<f<f(2)．答案 f(3)<f<f(2)一年创新演练12．已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在区间[－3，3]上的值域；(4)若∀x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范围．(1)解 取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)为奇函数．(2)证明 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)为奇函数，6\n∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)是R上的减函数．(3)解 由(2)知f(x)在R上为减函数，∴对任意x∈[－3，3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，∵f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3，3]上的值域为[－6，6]．(4)解 f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，则f(ax2－2x)<f(x－2)，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax2－2x>x－2，当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意．综上所述，a的取值范围为.6
