【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第二章第五节对数与对数函数文（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·山西省二诊)设a＝，b＝log9，c＝log8，则a，b，c之间的大小关系是( )A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a解析 a＝，b＝log9，c＝log8，∵＝log9＜log8，log9＞log9，∴c＞a＞b.答案 C2．(2022·江西省质检三)若a＝，b＝，c＝，则( )A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c解析 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以b＜a；＝＝＞1.所以b＞c，即c＜b＜a，故选B.答案 B3．(2022·湖南岳阳质检)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)解析 由题意可得或解得a＞1或－1＜a＜0，因此选C.答案 C4．(2022·辽宁五校联考)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )6\nA.B.C.D.解析 4＋3x－x2＞0，得x∈(－1，4)，令t＝4＋3x－x2，y＝lnt在定义域上为增函数，t＝4＋3x－x2在上为增函数，在为减函数，由复合函数的单调性可知f(x)的单调减区间为.答案 D二、填空题5．(2022·山东莱芜模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－4))＋f＝________．解析 f(f(－4))＝f(24)＝log416＝2，而log2＜0，∴f＝2－log2＝2log26＝6，即f(f(－4))＋f＝2＋6＝8.答案 8三、解答题6．(2022·甘肃定西一模，17)设f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0<a<b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f，求证：a·b＝1，>1；(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f所得到的关于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3，4)，使g(b0)＝0.(1)解 由f(x)＝1得，lgx＝±1，所以x＝10或.(2)证明 结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0，1)，b∈(1，＋∞)，从而－lga＝lgb，解得ab＝1.又＝，令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，任取1<b1<b2，6\n∵φ(b1)－φ(b2)＝(b1－b2)<0，∴φ(b1)<φ(b2)，∴φ(b)在(1，＋∞)上为增函数．∴φ(b)>φ(1)＝2.∴>1.(3)证明 由已知可得b＝，得4b＝a2＋b2＋2ab，又a＝，所以＋b2＋2－4b＝0，g(b)＝＋b2＋2－4b，因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3，4)内一定存在零点，即存在b0∈(3，4)，使g(b0)＝0.一年创新演练7．函数f(x)＝cosπx与函数g(x)＝|log2|x－1||的图象所有交点的横坐标之和为( )A．2B．4C．6D．8解析 将两个函数同时向左平移1个单位，得到函数，y＝f(x＋1)＝cosπ(x＋1)＝cos(πx＋π)＝－cosπx，y＝g(x＋1)＝|log2|x||，则此时两个新函数均为偶函数．在同一坐标系下分别作出函数y＝f(x＋1)＝－cosπx和y＝g(x＋1)＝|log2|x||的图象如图，由偶函数的性质可知，四个交点关于y轴对称，∴此时所有交点的横坐标之和为0，∴函数f(x)＝cosπx与函数g(x)＝|log2|x－1||的图象所有交点的横坐标之和为4，选B.]答案 B8．下列三个数：a＝ln－，b＝lnπ－π，c＝ln3－3，大小顺序正确的是( )A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．a＞c＞bD．b＞a＞c6\n解析 考虑函数f(x)＝lnx－x，f′(x)＝.当x∈(1，＋∞)时f′(x)＜0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∵＜3＜π，∴f＞f(3)＞f(π)，即a＞c＞b.答案 CB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2022·河北唐山统考)对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③＞0；④f＜.上述结论中正确结论的序号是( )A．②B．②③C．②③④D．①②③④解析 由运算律得f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1x2)＝f(x1x2)，所以①错误，②正确；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f＝lg，＝＝lg，∵≥，且x1≠x2，∴lg＞lg，所以④错误．故选B.答案 B10．(2022·湖南张家界一模)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值是( )A．2B．2C．2D.解析 由logmn＝－1，得m－1＝n，则mn＝1.由于m＞0，n＞0，∴m＋3n≥2＝2.故选B.答案 B二、填空题11．(2022·四川广安诊断)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．解析 由题意可知ln＋ln＝0，6\n即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋，又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜，故0＜－＋＜.答案 三、解答题12．(2022·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]．(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，综上，k∈(－∞，－3)．一年创新演练13．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同形”函数是( )6\nA．f2(x)与f4(x)B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x)D．f3(x)与f4(x)解析 ∵f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，∴f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”的定义可知选A.答案 A14．令f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)．如果对k(k∈N*)，满足f(1)·f(2)·…·f(k)为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2012]内所有的“好数”的和M＝________．解析 对任意正整数k，有f(1)·f(2)·…·f(k)＝log23·log34·…·logk＋1(k＋2)＝··…·＝＝log2(k＋2)．若k为“好数”，则log2(k＋2)∈Z，从而必有k＋2＝2l(l∈N*)，则k＝2l－2，令1≤2l－2≤2012，解得2≤l≤10，所以区间[1，2012]内所有“好数”的和M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝2026.答案 20266
