A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为( )A.B.C.D.解析 直线的斜率为，即直线l的斜率为k＝tanα＝，所以tan2α＝＝＝＝，选B.答案 B2．(2022·北京海淀模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，则实数a的值是( )A．0B．2或－1C．0或－3D．－3解析 因为l1⊥l2，所以a＋a(a＋2)＝0，则a＝0或a＝－3，故选C.答案 C3．(2022·江西南昌调研)直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点( )A.B.C.D.解析 ∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3.答案 D4．(2022·陕西西安调研)经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )6\nA．x＋2y－6＝0B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0D．x－2y－7＝0解析 直线过P(1，4)，代入后舍去A、D，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.答案 B二、填空题5．(2022·江苏盐城模拟)设a、b、c分别是△ABC中A、B、C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是________．解析 由＝，得bsinA－asinB＝0.∴两直线垂直．答案 垂直一年创新演练6．已知直线l过点O(0，0)和点P(cosα，sinα－4)，其中α≠kπ＋，k∈Z，则直线l的斜率的取值范围为( )A．[－，]B．(－，)C．(－∞，－]∪[，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)解析 动点P的轨迹为圆C：x2＋(y＋4)2＝2，但应除去圆与y轴的两个交点．当直线l与圆C相切时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx，由圆心C(0，－4)到直线l的距离等于半径，得＝，解得k＝±.利用数形结合，得直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．答案 C7．已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析 由题意知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB的方程可表示为＋y＝1，x∈[0，2]，又动点P(a，b)在线段AB上，所以＋b＝1，a∈[0，2]，又＋b≥2，6\n所以1≥2，解得0≤ab≤，当且仅当＝b＝，即P时，ab取得最大值.答案 B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·广西南宁调研)已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )A．－4B．20C．0D．24解析 由两直线垂直得－×＝－1，∴a＝10，将垂足坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.答案 A二、填空题9．(2022·盐城模拟)经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为______________________．解析 两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0.答案 x－3y＝010．(2022·青岛模拟)已知两直线l1：x＋ysinθ－1＝0和l2：2xsinθ＋y＋1＝0，当l1⊥l2时，θ＝________.解析 l1⊥l2的充要条件是2sinθ＋sinθ＝0，即sinθ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，∴当θ＝kπ(k∈Z)时，l1⊥l2.答案 kπ(k∈Z)11．(2022·深圳模拟)一条直线l过点P(1，4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________．6\n解析 设l：＋＝1(a，b>0)．因为点P(1，4)在l上，所以＋＝1.由1＝＋≥2⇒ab≥16，所以S△AOB＝ab≥8.当＝＝，即a＝2，b＝8时取等号．故直线l的方程为4x＋y－8＝0.答案 4x＋y－8＝0三、解答题12．(2022·龙岩调研)如图，椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；(2)当点P异于A、B两点时，求证：·为定值．(1)解 因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得b＝1，c＝1，∴a＝.则椭圆方程为＋x2＝1.直线l垂直于x轴时与题意不符．设l的方程为y＝kx＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．由，消去y得，(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.|CD|＝·＝，由＝，解得k＝±.∴l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.(2)证明 直线l垂直于x轴时与题意不符．6\n设l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，∴P点的坐标为.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，直线AC的方程为y＝(x＋1)，直线BD的方程为y＝(x－1)，将两直线方程联立，消去y得＝.因为－1＜x1，x2＜1，所以与异号．＝＝·＝＝＝.又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－·，∴与y1y2异号，与同号．∴＝，解得x＝－k.因此Q点坐标为(－k，yQ)．因此Q点坐标为(－k，yQ)．·＝·(－k，yQ)＝1.故·为定值．一年创新演练13．已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，求a6\n为何值时，A∩B＝∅.解 集合A、B分别为平面xOy上的点集，直线l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.由解得a＝±1.①当a＝1时，显然有B＝∅，所以A∩B＝∅；②当a＝－1时，集合A为直线y＝3(x≠2)，集合B为直线y＝－，两直线平行，所以A∩B＝∅；③由l1可知(2，3)∉A，当(2，3)∈B时，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0，可得a＝或a＝－4，此时A∩B＝∅.综上所述，当a＝－4，－1，1，时，A∩B＝∅.6
