A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·山东青岛模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x＋2y＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析 由题意知：＝，c＝5，所以a2＝20，b2＝5，则双曲线的方程为－＝1，故选A.答案 A2．(2022·河南开封模拟)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( )A.，3B.，C.，2D.，2解析 由题意知，·＝，所以a2＝2b2，则C1、C2的离心率分别为e1＝，e2＝，故选B.答案 B3．(2022·洛阳模拟)设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.解析 令c＝，则c为双曲线的半焦距长．据题意，F1F2是圆的直径，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.∴(2c)2＝(3|PF2|)2＋|PF2|2，即2c＝|PF2|.根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，6\n∴|PF1|－|PF2|＝3|PF2|－|PF2|＝2|PF2|＝2a.∴e＝＝，∴双曲线的离心率为.答案 D二、填空题4．(2022·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其离心率为________．解析 由已知，得a＝1，c＝，∴e＝＝.答案 5．(2022·广州一模)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为______________．解析 由题意得c＝，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0.答案 2x±3y＝0一年创新演练6．双曲线－＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________．解析 由题意可得，k＝＝tan＝，∴b＝a，则a2＝，∴e＝＝2.∴＝＝＋≥2＝.当且仅当＝，即b＝时取等号．答案 7．已知双曲线C的中心在原点，且左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C6\n的离心率为________．解析 设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，连接MF1，则在Rt△MF1F2中，有|F1F2|＝2c，|MF1|＝c，|MF2|＝c，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，即c－c＝2a，所以双曲线C的离心率e＝＝＝＋1.答案 ＋1B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·青岛一中月考)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝2解析 由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝.答案 C二、填空题9．(2022·武汉诊断)已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.解析 因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案 510．(2022·南京调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，离心率为2，6\n则双曲线C的焦点坐标是________．解析 ∵2a＝2，∴a＝1.又＝2，∴c＝2，∴双曲线C的焦点坐标是(±2，0)．答案 (±2，0)11．(2022·平顶山模拟)已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3，0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析 可求得a＝3，c＝5.焦点的位置在x轴上，所得的方程为－＝1.答案 －＝112．(2022·衡水模拟)设点F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为________．解析 据题意，|PF1|＝|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝.所以sin∠F1PF2＝＝，所以S△PF1F2＝×6×8×＝3.答案 3一年创新演练13．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，右焦点F到其渐近线的距离为，抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点F重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线x＝－1上，则△ABC的边长是( )A．8B．10C．12D．146\n解析 依题知双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为F(1，0)，所以抛物线的方程为y2＝4x，设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA1、BB1、MN垂直于直线x＝－1于A1、B1、N，设∠AFx＝θ，由抛物线定义知：|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝|AB|，∵|MC|＝|AB|，∴|MN|＝|MC|，∵∠CMN＝90－θ，∴cos∠CMN＝cos(90°－θ)＝＝，即sinθ＝，又由抛物线定义知|AF|＝，|BF|＝，∴|AB|＝＝12.答案 C14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解 ∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明 由(1)可知，在双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)．∴kMF1＝，kMF2＝，6\n又∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.∴kMF1·kMF2＝×＝－＝－1.∴MF1⊥MF2.∴·＝0.(3)解 由(2)知MF1⊥MF2，∴△MF1F2为直角三角形．又F1(－2，0)，F2(2，0)，m＝±，M(3，)或(3，－)，由两点间距离公式得|MF1|＝＝，|MF2|＝＝，S△F1MF2＝|MF1||MF2|＝×·＝×12＝6.即△F1MF2的面积为6.6
