【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第8节曲线与方程(理)北师大版一、选择题1．到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )A．y＝16x2B．y＝－16x2C．x2＝16yD．x2＝－16y[答案] C[解析] ∵动点M到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1，∴动点M到点F(0,4)的距离与它到直线y＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以F(0,4)为焦点，以直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y，故选C．2．下列各点在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲线上的是( )A．(0,0)B．(1,1)C．(1，－1)D．(1，－2)[答案] D[解析] 验证法，点(0,0)显然不满足方程x2－xy＋2y＋1＝0，当x＝1时，方程变为1－y＋2y＋1＝0，解得y＝－2，∴(1，－2)点在曲线上．故选D．3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝0，则点P的轨迹方程为( )A．＋y2＝1B．x2＋y2＝4C．y2－x2＝8D．x2＋y2＝8[答案] B[解析] 设点P的坐标为(x，y)，即·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝－4＋x2＋y2＝0，即得点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.4．若θ是任意实数，则方程x2＋y2cosθ＝4的曲线不可能是( )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆[答案] C[解析] ∵θ是任意实数，∴－1≤cosθ≤1.当－1≤cosθ<0时，方程x2＋y2cosθ＝4为双曲线；当cosθ＝0时，x＝±2为两条直线；当0<cosθ<1时，方程x2＋y2cosθ＝4为椭圆；当cosθ＝1时，方程x2＋y2＝4为圆．-5-\n5．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P轨迹为( )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆[答案] A[解析] ∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，∴|PA|＝|PQ|，又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|.由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆．6．如图所示，已知两点A(－2,0)，B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是( )A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)[答案] C[解析] 由∠APO＝∠BPO，设P点坐标为(x，y)，则|PA||PB|＝|AO||BO|＝2，即|PA|＝2|PB|，∴＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4，且y≠0.二、填空题7．已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦，且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．[答案] x2＋y2＝16[解析] 设BC中点为P(x，y)，则OP⊥BC，∵|OC|＝5，|PC|＝3，∴|OP|＝4，∴x2＋y2＝16.8．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程是________．[答案] x2＋＝1[解析] 由题意设A(xA,0)，B(0，yB)，＝(x－xA，y)，＝(－x，yB－y)，-5-\n∵＝2，∴⇒由x＋y＝9⇒9x2＋y2＝9⇒x2＋＝1.9．过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x，y轴交于A，B两点，则AB的中点M的轨迹方程为________．[答案] x＋y－1＝0[解析] 设M(x，y)，则B(0,2y)，A(2x,0)，由题意知·＝0，即(2x－1，－1)(－1,2y－1)＝0，化简得x＋y－1＝0.三、解答题10.如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．[解析] 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2x－x1,2y－y1)．∵点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2，①又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1.即x－y＋y1－x1＝0.②由①、②联立，解得又Q在双曲线x2－y2＝1上，∴x－y＝1，即(x＋y－1)2－(x＋y－1)2＝1整理得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0，这就是所求动点P的轨迹方程.一、选择题1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线[答案] A-5-\n[解析] 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)，∵＝λ1＋λ2，∴，解得又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．2．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1(x>3)D．－＝1(x>4)[答案] C[解析] 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．二、填空题3．(2022·佛山模拟)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B(－，0)，C(，0)(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．[答案] －＝1(x>0且y≠0)[解析] 由正弦定理：－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．4．已知O为坐标原点，点P为直线l：x＝－1上一动点，F点坐标为(1,0)，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且＝λ(λ∈R)，则点M的轨迹方程为________．[答案] y2＝4x(x≠0)[解析] 解法一：依题意，得点M在PF的垂直平分线上，则|PM|＝|FM|，又MP＝λ，∴MP∥OF，MP⊥l.故点M在以F为焦点，以l为准线的抛物线上，∴点M的轨迹方程为y2＝4x(x≠0)．解法二：依题意，得点M在PF的垂直平分线上，-5-\n则|PM|＝|FM|，又＝λ，MP∥OF.设M(x，y)，则P(－1，y)，∴(x＋1)2＝(x－1)2＋y2，化简，得y2＝4x(x≠0)．三、解答题5．如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且DO⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|＝4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不变．求曲线C的方程．[解析] 如图所示，以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系．∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不变．且点Q在曲线C上，∴|PA|＋|PB|＝|QA|＋|QB|＝2＝2，且|PA|＋|PB|>|AB|＝4，∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a＝2，∴a＝，c＝2，从而b＝1.∴曲线C的方程为＋y2＝1.6．在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．[解析] (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得c＝±1.∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.-5-
