【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第2节排列与组合(理)北师大版一、选择题1．(2022·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种[答案] C[解析] 本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有C＝15种选法，从5名女医生选1人有C＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．2．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种B．24种C．30种D．36种[答案] B[解析] 先从4人中选2人选修甲课程，有C种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有C×22＝24种方法．3．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种B．42种C．48种D．54种[答案] B[解析] 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位；中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第1位时有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法．依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案．4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3！B．3×(3！)3C．(3！)4D．9![答案] C[解析] 本题考查捆绑法排列问题．-5-\n由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．5．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A．AAB．ACC．AAD．AC[答案] A[解析] 不相邻问题用插空法，8名学生先排有A种，产生9个空，2位老师插空有A种排法，所以最终有A·A种排法．故选A．6．(2022·福州质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种[答案] D[解析] 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法，由分类计数原理知共A＋CA＝60种方法．二、填空题7．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．[答案] 48[解析] 选1名老队员，则有C·C·A＝36种；选2名老队员，则有C·C·C·A＝12种．共有36＋12＝48(种)．8．有5名男生3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．[答案] 840[解析] 由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A＝840(种)．9．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．[答案] 180[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识．由题意知可分为两类，1)选“0”，共有CCCA＝108个，2)不选“0”，共有CA＝72个，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180.-5-\n三、解答题10．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种方法？[解析] (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法，故共有C(CCA＋·A)＝84(种).一、选择题1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A．232B．252C．472D．484[答案] C[解析] 本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C－4C－CC＝－16－72＝560－88＝472.另解：CC－3C＋CC＝－12＋4×＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重．2．(2022·四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种[答案] B-5-\n[解析] 分两类：最左端排甲有A＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有CA＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．二、填空题3．在连续自然数100,101,102，…，999中，对于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有________个．[答案] 91[解析] 分两类：①递减时，若有0，则0在个位，符合要求，从10个数字中选3个不相邻数字，相当于从10个位置中选3个不相邻的位置，故可将所选的3个位置插在其余7个位置的空位之中，故不同的情况共有C种；②递增时，不能有0，则应从1到9的9个数字中，选3个不相邻的数字，同①有C种，故所求的三位数有：C＋C＝91(个)．4．(2022·北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．[答案] 36[解析] 本题考查了计数原理与排列组合知识．先只考虑A与产品B相邻，此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑，共有A＝24种方法，而A和B有2种摆放顺序，故总计24×2＝48种方法，再排除既满足A和B相邻，又满足A与C相邻的情况，此时用捆绑法，将A、B、C作为一个元素考虑，共有A＝6种方法，而A、B、C有2种可能的摆放顺序，故总计6×2＝12种方法．综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种．三、解答题5．在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？[解析] 本题中的“双面手”有3人，仅能歌的2人，仅善舞的5人．把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔．故选法种数是CC＋CC＝245.6．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直到找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？[解析] (1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；-5-\n第8次测到最后一件次品有3种抽法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有AAA＝86400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4AA种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4AA＋A种．由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A＋4AA＋4AA＋A＝8520.-5-
