第32练 与抛物线相关的热点问题题型一 抛物线的定义及其应用例1 设P是抛物线y2＝4x上的一动点，(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB＋PF的最小值．破题切入点 画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题．解 (1)由于A(－1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP＋PF≥AF＝＝，从而知点P到A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(－1,1)的距离与P到直线x＝－1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.题型二 抛物线的标准方程及性质例2 (1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.破题切入点 准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答．答案 (1)(2，＋∞) (2)2解析 (1)∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知FM＝y0＋2.以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4<y0＋2，∴y0>2.(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，-7-\n则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.水位下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6，∴x0＝.∴水面宽CD＝2m.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．破题切入点 (1)将点代入易求方程．(2)假设存在，根据条件求出，注意验证．解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.由直线OA到l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.又因为－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2＝2px关于y轴、直线x＋y＝0与x－y＝0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y2＝2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝；②若直线AB的倾斜角为θ，则AB＝；③若F为抛物线焦点，则有＋＝.-7-\n1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．答案 4或－4解析 设标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，则方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.2．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个．答案 1解析 由题意得F(2,0)，l：x＝－2，线段MF的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，即x＋3y－7＝0，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，由题意得|a－(－2)|＝，即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0.又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________．答案 2±解析 依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)．由抛物线定义及PF＝QF，得＋＝＋，∴y＝y，∴y1＝－y2.又PQ＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P(，y1)．又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝＋＝2，由此解得p＝2±.4．(2022·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．答案 解析 由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝OF·|yA－yB|＝××6＝.方法二 联立方程得x2－x＋＝0，-7-\n故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝AB·h＝.5．已知抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋PQ的最小值为________．答案 3解析 如图所示，由题意，知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，连结PF，则d＝PF.圆C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1,4)，半径r＝2.d＋PQ＝PF＋PQ，显然，PF＋PQ≥FQ(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)．而FQ为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为CF－r＝－2＝5－2＝3.6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若AF＝3，则△AOB的面积为______．答案 解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又AF＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，∴A(2,2)，-7-\n∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，∴S△AOB＝OF·|yA－yB|＝×1×|2＋|＝.7．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝，AF<BF，则AF＝________.答案 解析 ∵＋＝＝2，AB＝AF＋BF＝，AF<BF，∴AF＝，BF＝.8．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ＝2，则直线l的斜率为________．答案 ±1解析 设直线l的斜率等于k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l为y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则有x1x2＝1，x1＋x2＝－2，因此可得Q(－1，)，因F(1,0)，由FQ＝2，则有(－2)2＋()2＝4，解得k2＝1，所以k＝±1.9．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°.则△OAF的面积为________．答案 解析 由题意，得直线AB方程为y＝(x－1)，与抛物线方程y2＝4x联立，求得交点A的坐标为(3,2)，利用三角形面积公式即可求得S△OAF＝×1×2＝.10．(2022·江西)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案 6解析 因为△ABF为等边三角形，-7-\n所以由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.11．(2022·大纲全国)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF＝PQ.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．解 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.所以PQ＝，QF＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故设AB的中点为D(2m2＋1,2m)，AB＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故设MN的中点为E(＋2m2＋3，－)，MN＝|y3－y4|＝，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE＝BE＝MN，从而AB2＋DE2＝MN2，即4(m2＋1)2＋(＋2)2＋(2m＋)2＝，-7-\n化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.12．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：－x＝1(x＞0)．化简得y2＝4x(x＞0)．(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＜0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0⇔＋y1y2－＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2).-7-
