第30练 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围．解 设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.所求椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.当x0＝2时，·取得最小值0，当x0＝－2时，·取得最大值4.题型二 直线与椭圆相交问题例2 已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦|MN|的长．破题切入点 根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出．解 由得11x2－18x－9＝0.由根与系数的关系，得xM＋xN＝，-7-\nxM·xN＝－.由弦长公式|MN|＝|xM－xN|＝·＝＝.题型三 点差法解题，设而不求思想例3 已知椭圆＋y2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．破题切入点 设出弦的两端点，利用点差法求解．解 设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为R(x，y)，则x＋2y＝2，x＋2y＝2，两式相减并整理可得，＝－＝－，①将＝2代入式①，得所求的轨迹方程为x＋4y＝0(－<x<)．总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值．(2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”．(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解．1．“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的________条件．答案 必要不充分解析 若＋＝1表示椭圆，则有所以2<m<6且m≠4，故“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．答案 椭圆解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故PA＝PN.又AM是圆的半径，所以PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．3．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________．-7-\n答案 ＋＝1解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2a＝2·2c，＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.4．(2022·大纲全国改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．答案 ＋＝1解析 由e＝，得＝.①又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.5．(2022·福建改编)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．答案 6解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6.-7-\n6.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．答案 解析 设AF1＝m，AF2＝n，则有m＋n＝4，m2＋n2＝12，因此12＋2mn＝16，所以mn＝2，而(m－n)2＝(2a)2＝(m＋n)2－4mn＝16－8＝8，因此双曲线的a＝，c＝，则有e＝＝.7．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________．答案 解析 由椭圆的性质可知：AF1＝a－c，F1F2＝2c，F1B＝a＋c，又AF1，F1F2，F1B成等比数列，故(a－c)(a＋c)＝(2c)2，可得＝.8．(2022·辽宁)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________.答案 12解析 椭圆＋＝1中，a＝3.如图，设MN的中点为D，则DF1＋DF2＝2a＝6.∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴BN＝2DF2，AN＝2DF1，∴AN＋BN＝2(DF1＋DF2)＝12.-7-\n9．(2022·江西)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．答案 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·.∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.10．(2022·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．答案 x2＋y2＝1解析 设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋＝1，∴F1(－，0)，F2(，0)．∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．∵AF1＝3F1B，∴＝3，∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．∴x0＝－，y0＝－.∴点B的坐标为.将B代入x2＋＝1，得b2＝.∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.11．(2022·课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.-7-\n(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN＝5F1N，求a，b.解 (1)根据c＝及题设知M(c，)，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由MN＝5F1N，得DF1＝2F1N.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.12．(2022·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，-7-\n所以＋＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝，因此e＝.-7-
