三角函数、解三角形第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( )．A．sinB．cosC．tanD．cos2θ解析 因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan>0，故选C.答案 C2．(2022·新课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )．A．－B．－C.D.解析 由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案 B3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为( )．A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2解析 72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．答案 B4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．5\n其中正确命题的个数是( )．A．1B．2C．3D．4解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝________.解析 因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－.答案 －6．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．解析 由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin≤0，所以只能是第四象限角．答案 四三、解答题(共25分)7．(12分)(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素5\nα为－21°，339°，699°.(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8．(13分)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解 ∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－，又∵tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝；当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－.分层B级 创新能力提升1．(2022·江西改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝( )．A．－8B．8C．－4D．4解析 根据题意sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，又∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.答案 A2．(2022·舟山模拟)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝( )．A．80°B．70°C．20°D．10°解析 据三角函数定义知，tanα＝＝＝tan70°.故锐角α＝70°.答案 B3．(2022·金华模拟)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．5\n解析 由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2(rad)．答案 24．函数y＝的定义域为________．解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．答案 (k∈Z)5．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解析设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则解得∴圆心角α＝＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．6.如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.解 (1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝.(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，又sin∠COA＝，cos∠COA＝，5\n∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°＝·－·＝.5
