小题专项集训(四) 函数的图象、函数与方程、函数的应用(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2022·北京海淀期中)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )．解析 当a>1时，三个函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a均为增函数，则排除B，C.又由直线y＝x＋a在y轴上的截距a>1可得仅D的图象正确，故应选D.答案 D2．(2022·江西九校联考)函数f(x)＝x3－16x的某个零点所在的一个区间是( )．A．(－2,0)B．(－1,1)C．(0,2)D．(1,3)解析 令f(x)＝0，解得x＝0或±4.故选B.答案 B3．(2022·厦门质检)已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为( )．A．1B．2C．3D．4解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)与y＝ex的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数是2，选B.答案 B4．(2022·西安质检)设a是方程－log2x＝0的实数根，则有( )．A．a<0B．1<a<2C．0<a<1D．a>2解析 由题意可知，a是函数y＝与y＝log2x交点的横坐标，作出图象即可得1<a<2.答案 B5．(2022·杭州高中月考)函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是5\n( )．解析 f(x)＝又0<a<1，故选D.答案 D6．(2022·台州期末)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )．A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④解析 本题应注意距离s随时间t的变化趋势，可通过平均变化率，即s＝f(t)一次函数所在直线的斜率来判断，斜率越大，位移随时间的变化也越大，据此可得B选项是正确的．答案 B7．某乡企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，那么第n年付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数为( )．A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4 B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4 D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4解析 第n年共有工人3n＋8位，其中有3位新工人，3n＋8－3＝3n＋5位老工人，老工人的工资总额为(3n＋5)(1＋20%)n＝(3n＋5)×1.2n,3位新工人的工资为3×0.8＝2.4，故第n年付给工人的工资总数为(3n＋5)×1.2n＋2.4.答案 A8．(2022·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x5\n件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A．60件B．80件C．100件D．120件解析 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80.答案 B9．(2022·杭州五校质检)设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是( )．A．(－1，－log32)B．(0，log32)C．(log32,1)D．(1，log34)解析 ∵x∈(1,2)，∴∈(2,3)，log3∈(log32,1)，故要使函数f(x)在(1,2)内存在零点，只要a∈(log32,1)即可．故选C.答案 C10．(2022·龙岩质检)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝x在上根的个数是( )．A．1B．2C．3D．4解析 由题意知f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，画出f(x)的图象，结合y＝x的图象可知，方程f(x)＝x在x∈时有3个根，要注意在x∈时方程无解．答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点为2，则g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析 由f(2)＝2a＋b＝0，得b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．令g(x)＝0，得x＝0或－.答案 0，－5\n12．某类产品按质量可分10个档次，生产最低档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第________档次的产品，所获利润最大．解析 设生产第x档次的产品，1≤x≤10，则利润y＝[60－3(x－1)][2(x－1)＋8]＝(63－3x)(2x＋6)＝6(－x2＋18x＋63)＝6[－(x－9)2＋144]．当x＝9时，y取到最大值，故应生产第9档次的产品．答案 913．(2022·合肥三模)设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则函数y＝f(x)在区间[0,100]上至少有________个零点．解析 ∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，①∴f(x)＝－f(2－x)，f(x)＝－f(－2－x)，∴f(2－x)＝f(－2－x)，∴f(x)＝f(x－4)，∴f(x)是以4为周期的函数．令①中的x＝0，则f(1)＝0，f(－1)＝0，∴f(3)＝0，∴x∈[0,4]时f(x)至少有两个零点，∴x∈[0,100]时，f(x)至少有50个零点．答案 5014．(2022·温州五校联考)对于任意实数x，[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．这个函数[x]叫做“取整函数”，则[lg1]＋[lg2]＋[lg3]＋[lg4]＋…＋[lg2013]＝________.解析 原式＝([lg1]＋[lg2]＋…＋[lg9])＋([lg10]＋[lg11]＋…＋[lg99])＋([lg100]＋[lg101]＋…＋[lg999])＋([lg1000]＋[lg1001]＋…＋[lg2013])＝9×0＋90×1＋900×2＋1014×3＝4932.答案 493215．(2022·山西四校联考)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．解析 依题意得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数．g(x)＝f(x)－kx－k在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝k(x＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y＝k(x＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k∈5\n时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案 5
