活页作业 曲线与方程一、选择题1．与两点(－3,0)，(3,0)距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )A．x2－y2＝10 B．x2＋y2＝10C．x2＋y2＝38 D．x2－y2＝38解析：设点(x，y)，由条件得()2＋()2＝38，化简得x2＋y2＝10.答案：B2．与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )A．y2＝8xB．y2＝8x(x＞0)和y＝0(x＜0)C．y2＝8x(x＞0)D．y2＝8x(x＞0)和y＝0(x＜0)3．(2022·汕头模拟)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹是( )A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线解析：设Q(x0，y0)，则①2－2×②得x－2y0＝(x＋y)2－2xy，即x－2y0＝x2＋y2，又P(x，y)满足x2＋y2＝1，∴x－2y0＝1，即y0＝x－，故所求轨迹为抛物线．答案：B4．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＜－1)5\nC．x2＋＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)解析：设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|，所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．设其方程为－＝1(x＞0)，则a＝1，c＝3，∴b2＝8.故所求方程为x2－＝1(x＞0)．6．(金榜预测)动点P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为( )A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线解析：如图所示，设三个切点分别为：M、N、Q.∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|5\n＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a，∴|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴圆心C的轨迹为直线．答案：D二、填空题7．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.答案：y2＝8x8．设动点P在直线x－1＝0上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹方程为________．解析：设P(1，y0)，Q(x，y)，由题意知OP⊥OQ且|OP|＝|OQ|，故消去y0得x2＋y2＝x2y2＋y4(y≠0)，化简得(x2＋y2)·(y2－1)＝0.∵x2＋y2≠0，∴y2＝1，即y＝±1.答案：y＝±19.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是____________________．解析：过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连结PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－[(x－)2＋y2]＝1，化简得y2＝x－.答案：y2＝x－5\n三、解答题10．(2022·天水模拟)设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m＝，求证：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB(O为坐标原点)，并求该圆的方程．综合①式有5r2＝4，r＝∈(0,1)，(ⅱ)当切线斜率不存在时，x2＋y2＝也满足题意，故所求圆的方程为x2＋y2＝.5\n5
