2021年江西省九江市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x2≤2x}，则A∩（∁RB）＝（ ）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．∅2．若复数z满足（1﹣2i）z＝2，则z的虚部为（ ）A．B．C．D．3．研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先如图是我国近五年（2016﹣2020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（ ）A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系B．近五年，R&D经费支出的中位数为19678C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%D．2020年，R&D经费支出增长速度最快4．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为（ ）A．3B．1C．5D．﹣15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有7十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度）．二十四节气及暑长变化如图所示，相邻两个节气唇长的变化量相同，周而复始．若冬至暑长一丈三尺五寸，夏至暑长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）暑长是（ ）,A．三尺B．三尺五寸C．四尺D．四尺五寸6．已知椭圆C的焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2，若椭圆C上存在点M，使得∠F1MF2＝90°，则椭圆C短轴长的取值范围是（ ）A．（0，1]B．C．[2，+∞）D．（0，2]7．函数，x∈[﹣2π，2π]的图像可能是（ ）A．B．C．,D．8．已知曲线C1：y＝sinx，曲线C2：的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2B．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2C．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2D．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C29．已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝4上的两点，且，则＝（ ）A．6B．C．D．310．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥P﹣AB1D1的体积为定值；③任意点P，都有DP⊥A1C；④存在点P，使得A1P⊥平面AB1D1．其中正确的是（ ）,A．①③B．②④C．②③D．①④11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左焦点为F，AB分别为双曲线C左右支上一点，直线AF的斜率为，若四边形OFAB是平行四边形，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．12．已知f（x）是定义在R上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若f（x）+1+x[f'（x）+1]＝ex，则f（x）在（0，+∞）上（ ）A．恒为正值B．恒为负值C．单调递增D．单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若函数，则f（3）＝ ．14．圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种．小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为 ．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则B＝ ．,16．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥PC，PA＝PC，则球O的表面积为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段．我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用．自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（Ⅰ）建立y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图所示，在四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，AD＝4，BC＝CD＝2，△MBD为等边三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥MC；（Ⅱ）若平面MBD⊥平面ABCD，求D到平面ABM的距离．,20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点（2，m）到焦点的距离为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）A，B为C上关于y轴对称的两点，，过P作直线l交C于M，N两点，求证：直线AM，AN斜率的乘积为定值．21．已知函数f（x）＝eaxlnx﹣x+1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲C1的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，记曲线C1与C2公共弦所在直线为l．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设过O点的直线l0与直线l交于点M，与曲线C1交于点N（异于原点O），求|OM|•|ON|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最大值为M．（Ⅰ）求M的值；（Ⅱ）若正实数a，b满足2a+b＝M，求a2b的最大值．,参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x2≤2x}，则A∩（∁RB）＝（ ）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．∅解：B＝{x|x2≤2x}＝{x|0≤x≤2}，则∁RB＝{x|x＜0或x＞2}，又A＝{x|﹣1＜x＜1}，所以A∩（∁RB）＝{x|﹣1＜x＜0}＝（﹣1，0）．故选：B．2．若复数z满足（1﹣2i）z＝2，则z的虚部为（ ）A．B．C．D．解：∵（1﹣2i）z＝2，∴，∴z的虚部为．故选：C．3．研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先如图是我国近五年（2016﹣2020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（ ）A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系B．近五年，R&D经费支出的中位数为19678C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%D．2020年，R&D经费支出增长速度最快解：对于A，近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系，故A正确；对于B，五年，R&D经费支出的中位数为19678，故B正确；,对于C，∵≈1.56，即2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%，故C正确；对于D，2016年至2017年，R&D经费支出增长速度为≈1.123，2017年至2018年，R&D经费支出增长速度为≈1.118，2018年至2019年，R&D经费支出增长速度为≈1.125，2019年至2020年，R&D经费支出增长速度为≈1.103，故D错误．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为（ ）A．3B．1C．5D．﹣1解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数z＝x+y，可化为y＝﹣x+z，平移目标函数，当y＝﹣x+z过点A时，z取得最大值，由，解得A（1，2），所以z的最大值为zmax＝1+2＝3．故选：A．5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有7十四个节气，每个节气晷（guǐ,）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度）．二十四节气及暑长变化如图所示，相邻两个节气唇长的变化量相同，周而复始．若冬至暑长一丈三尺五寸，夏至暑长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）暑长是（ ）A．三尺B．三尺五寸C．四尺D．四尺五寸解：先取上半年进行研究，设晷影长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，∴d＝＝﹣10，∴夏至之后第三个节气（立秋）暑长为：a16＝a13+3|d|＝15+30＝45，∴夏至之后第三个节气（立秋）暑长为四尺五寸．故选：D．6．已知椭圆C的焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2，若椭圆C上存在点M，使得∠F1MF2＝90°，则椭圆C短轴长的取值范围是（ ）A．（0，1]B．C．[2，+∞）D．（0，2]解：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则c＝1，a2＝b2+1，椭圆C的标准方程为，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1，,联立，可得y2＝b4，所以，b4＝y2＝1﹣x2≤1，∵b＞0，可得0＜b≤1，因此，椭圆C短轴长的取值范围是（0，2]．故选：D．7．函数，x∈[﹣2π，2π]的图像可能是（ ）A．B．C．D．解：设g（x）＝ln（﹣x），则g（﹣x）+g（x）＝ln（+x）（﹣x）＝ln1＝0，即g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）是奇函数，则f（x）＝sinx•g（x）是偶函数，排除D，当x＞0时，﹣x＝为减函数，则g（x）为减函数，则g（x）＜g（0）＝0，则当0＜x＜π时，sinx＞0，则f（x）＜0，排除B，C，故选：A．8．已知曲线C1：y＝sinx，曲线C2：的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）,A．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2B．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2C．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2D．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2解：根据曲线C2：的部分图像可得，sinφ＝，∴φ＝．再根据五点法作图可得ω×+＝π，求得ω＝2，故曲线C2的方程为y＝sin（2x+）．故将曲线曲线C1：y＝sinx的图像先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，故选：B．9．已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝4上的两点，且，则＝（ ）A．6B．C．D．3解：由题知圆C半径AC＝2，,作CD⊥AB交AB于点D，则由圆的性质可得|AD|＝|AB|＝，则在直角三角形ACD中，cos∠CAD＝＝，而•＝|AB|×|AC|×cos∠CAD＝2×2×＝6．故选：A．10．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥P﹣AB1D1的体积为定值；③任意点P，都有DP⊥A1C；④存在点P，使得A1P⊥平面AB1D1．其中正确的是（ ）A．①③B．②④C．②③D．①④解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0）、A1（1，0.1）、B1（1，1.1）、C1（0.1，1）、D1（0.0.1）设点P（t，1，1﹣t），其中0≤t≤1．对于①，|DF|＝不是定值，①错误；对于②，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以，四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1∥AD1又BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，则BC1平面AB1D1，又P∈BC1，则点P到平面AB1D1的距离为定值，故三角形AB1D1的面积也为定值，所以，三棱锥P﹣AB1D1的体积为定值，②正确；,对于③，，，所以，＝﹣t+1﹣1+t＝0，因此，对任意点P，都有DP⊥A1C，③正确；对于④，＝（t﹣1，1，﹣t），＝（0，1，1），＝（﹣1，0.1），所以，这样的t不存在．所以不存在点P，使得A1P⊥平面B1D1，④错误．故选：C．11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左焦点为F，AB分别为双曲线C左右支上一点，直线AF的斜率为，若四边形OFAB是平行四边形，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．解：如图，设双曲线右焦点为F′，可得四边形AFF′B是一个等腰梯形，且AB＝c，FF′＝2c，过A作AD⊥FF′，可得FD＝，∵直线AF的斜率为，∴tan∠AFF′＝，,∴A（﹣，），∴AF′﹣AF＝﹣＝2a，∴，∴，故选：D．12．已知f（x）是定义在R上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若f（x）+1+x[f'（x）+1]＝ex，则f（x）在（0，+∞）上（ ）A．恒为正值B．恒为负值C．单调递增D．单调递减解：由f（x）+1+x[f'（x）+1]＝ex，得f（x）+xf'（x）＝ex﹣x﹣1，设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝ex﹣x﹣1，设h（x）＝ex﹣x﹣1，h'（x）＝ex﹣1，当x＞0时，h'（x）＞0，h（x）递增，x＜0时，h'（x）＜0，h（x）递减，所以h（x）min＝h（0）＝0，所以h（x）≥h（0）＝0，即g'（x）≥0恒成立，所以g（x）是R上的增函数，又g（0）＝0，所以x＞0时，g（x）＝xf（x）＞0，f（x）＞0，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若函数，则f（3）＝ 2 ．解：由题意知，f（3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝21＝2，故答案为：2．,14．圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种．小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为 ．解：小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，基本事件总数n＝＝10，赠送的两枚为不同种类型包含的基本事件个数m＝＝6，则赠送的两枚为不同种类的概率为P＝＝＝．故答案为：．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则B＝ ．解：∵2bsin（C+）＝a+c，∴b（sinC+cosC）＝a+c，即bsinC+bcosC＝a+c，∴sinBsinC+sinBcosC＝sinA+sinC＝sin（B+C）+sinC＝sinBcosC+cosBsinC+sinC∴sinBsinC＝cosBsinC+sinC，∵sinC≠0，∴sinB＝cosB+1，两边平方得：3sin2B＝cos2B+1+2cosB，∴2cos2B+cosB﹣1＝0，解得cosB＝，或﹣1，∵0＜B＜π，∴B＝．故答案为：．,16．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥PC，PA＝PC，则球O的表面积为 ．解：由已知可得，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，取AC的中点D，则D为△PAC的外心，设等边三角形ABC的外心为O，则OD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴OD⊥平面PAC，可知O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，则半径R＝＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段．我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用．自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328（Ⅰ）建立y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．解：（Ⅰ），，,＝，．∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）200×80%＝160，设，数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，则＝，∵S6＝127.2，S7＝163.8，∴预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2+an（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）由已知条件可知，对任意的n∈N*，an＞0，当n＝1时，，解得a1＝1；当n≥2时，由2Sn＝an2+an，可得2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，上述两式作差得，即，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，由已知条件可知an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝1，∴数列{an}是等差数列，且首项为1，公差也为1，因此，an＝1+（n﹣1）×1＝n；（2）由（1）可知，则bn＝＝，因此，＝．19．如图所示，在四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，AD＝4，BC＝CD＝2，△MBD为等边三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥MC；,（Ⅱ）若平面MBD⊥平面ABCD，求D到平面ABM的距离．【解答】（1）证明：取BD的中点O，连接MO，CO，因为BC＝CD，所以BD⊥CO，又因为△MBD为等边三角形，所以BD⊥MO，又MO∩CO＝O，MO，CO⊂平面MCO，所以BD⊥平面MCO，又MC⊂平面MCO，所以BD⊥MC．（2）解：如图所示，取MB的中点E，连接DE，因为底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，AD＝4，BC＝CD＝2，所以BD＝2，AB＝2，所以AB²+BD²＝AD²，所以AB⊥BD，因为平面MBD⊥平面ABCD，平面MBD∩平面ABCD＝BD，所以AB⊥平面MBD，又DE⊂平面MBD，所以AB⊥DE，因为△MBD为等边三角形，E为MB的中点，所以DE⊥MB，又AB∩MB＝B，所以DE⊥平面ABM，所以DE＝BD•sin＝，所以点D到平面ABM的距离为．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点（2，m）到焦点的距离为2．,（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）A，B为C上关于y轴对称的两点，，过P作直线l交C于M，N两点，求证：直线AM，AN斜率的乘积为定值．解：（Ⅰ）因为（2，m）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，所以m＝因为点（2，m）到焦点的距离为2，所以+＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y．（Ⅱ）证明：因为A，B为抛物线C上关于y轴对称的两点，设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），由＝（0，p）＝（0，2），所以P（﹣x1，y1+2），由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣（y1+2）＝k（x+x1），M（xM，yM），N（xN，yN），联立，得x2﹣4kx﹣4kx1﹣4y1﹣8＝0，则xM+xN＝4k，xMxN＝﹣4kx1﹣4y1﹣8，所以yM+yN＝k（xM+x1）+y1+2+k（xN+x1）+y1+2＝k（xM+xN）+2kx1+2y1+4＝4k2+2kx1+2y1+4，yMyN＝•＝＝（kx1+y1+2）2＝k2x12+y12+4+2kx1y1+4kx1+4y1，所以kAM•kAN＝•＝,＝＝＝＝﹣，所以直线AM，AN的斜率乘积为定值﹣．21．已知函数f（x）＝eaxlnx﹣x+1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．解：（1）当a＝0时，f（x）＝lnx﹣x+1，得f′（x）＝﹣1，（x＞0），当0＜x＜1时，f′（x）＝﹣1＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为[1，+∞）．（2）由（1）知当a＝0时，f（x）的单调增区间为（0，1），则f（x）＜f（1）＝0符合题意；当a＞0时，x∈（0，1），则eax＞1，lnx＜0，所以eaxlnx＜lnx，由（1）知f（x）＝lnx﹣x+1＜f（1）＝0，所以eaxlnx＜lnx＜x﹣1，故f（x）＜lnx﹣x+1＜0成立，则a＞0成立；当a＜0时，由f′（x）＝eax（alnx+）﹣1，x∈（0，1），令g（x）＝alnx+，则g′（x）＝＜0，所以g（x）在x∈（0，1）上单调递减，得g（x）＞g（1）＝1，又y＝eax∈（0，1）且为减函数，所以f′（x）＝eaxg（x）﹣1为减函数，又f′（1）＝ea﹣1＜0，故设f′（x0）＝0，当x0＜x＜1时，有f′（x）＜0，所以f（x）在（x0，1）为减函数，则有f（x0）＞f（1）＝0，故a＜0不符合题意，综上所述：a≥0．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲C1的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，记曲线C1与C2公共弦所在直线为l．,（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设过O点的直线l0与直线l交于点M，与曲线C1交于点N（异于原点O），求|OM|•|ON|的值．解：（Ⅰ）已知曲C1的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，转换为直角坐标方程为x2+y2＝1；两圆相减得：2x+2y﹣1＝0．根据，转换为极坐标方程为2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0；（Ⅱ）设直线l0的方程为：，与直线l交于点M，所以，整理得，直线l0与曲线C1交于点N，所以t2cos2α﹣2tcosα+t2sin2α﹣2tsinα＝0，整理得：tON＝2（sinα+cosα），所以：|OM|•|ON|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最大值为M．（Ⅰ）求M的值；（Ⅱ）若正实数a，b满足2a+b＝M，求a2b的最大值．解：（Ⅰ）f（x）＝，画出y＝f（x）的图象，由图象可知，当x＝时，有最大值，最大值为4，则M＝4；（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可得正实数a，b满足2a+b＝4，∴b＝4﹣2a＞0，解得0＜a＜2，∴a2b＝a2（4﹣2a）＝4a2﹣2a3，,设g（a）＝4a2﹣2a3，0＜a＜2，∴g′（a）＝﹣6a2+8a＝﹣6a（a﹣），当0＜a＜时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，当＜a＜2时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，∴g（a）max＝g（）＝4×﹣2×＝．方法二：由（Ⅰ）可得正实数a，b满足2a+b＝4，∴a2b≤（）3＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2b的最大值为．
