哈尔滨市第六中学2019级高三上学期10月份月考文科数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．4．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知数列中，且，则（）A．B．C．D．6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知函数的最小正周期为，则（）A．1B．C．0D．8．往正方形内随机放入个点，恰有个点落入正方形的内切圆内，则的近似值为（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）
A．B．C．D．10．设数列满足：，，记数列的前项之积为，则的值为（）A．B．C．D．11．某船从处向北偏东方向航行千米后到达处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达处，则处与处之间的距离为（）A．千米B．千米C．千米D．千米12．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，，，则______；14．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是________；15．已知，且是第四象限的角，则的值为______________；16．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（共10分）已知正项的等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18．（共12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，且，是棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值；
19．（共12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82820．在中，角的对边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）若，的中线，求的面积．21．如图，在棱长为6的正方体中，点是的中点，点在棱上，且，设直线，相交于点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.22．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．
哈尔滨市第六中学2020—2021学年度上学期10月月考试高三（文科）数学答案一、选择题题号123456789101112答案CBDCCDDAABBA二、13.14.15.16.17.解：（1）由题意知，，，得，设等比数列的公比为q，又，，化简得，解得，——————3分.——————5分（2）由（1）知，.——————6分，.————10分18.(1)证明：因为，所以，又，所以.因为平面，平面，所以.又，在平面内，且相交于点，所以平面.又平面，所以平面平面.————————————6分(2)
如图，连接，相交于点，过点作，交于点.因为，平面，平面，所以平面.故上述所作点为使得平面的点.如图在梯形中，有，令，因为，，三点共线，所以，.即，所以，.因为，所以，.————————12分19.（1）由题中数据可得.所以有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.——————6分（小数点后保留没有真实值扣1分，不足三位扣2分，没有与10.828比较扣2分，没有结论扣1分）（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，其中男性车主有人，记为，，，；女性车主有人，记为，.从这6位车主中随机抽取2位车主包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种；——————9分（设事件1分）至少有1位女性车主包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9种.————————11分故所求概率.————————12分20.（1）由正弦定理及已知条件，得，两边同乘，得．
由余弦定理得．∵，∴——————————6分（2）延长至点，使，连接，，则所得四边形是平行四边形，∴．又∵，，可得为等边三角形，∴，∴．∴．——————12分21.（1）证明：如图，连接，因为，所以，所以，从而.又由条件知，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.————————————6分（2）解：设到平面的距离为，由，得.又，所以三棱锥的体积.设到平面的距离为，在中，，，，所以，，.
由，得，解得，即点到平面的距离为.————————12分22.（1）当时，，，则，又，曲线在点处的切线方程为，即．—————4分（2），令，在区间上有唯一的极值点，又，所以只需，解得，由，得，即，，．令，，，即在上单调递增，且，，．—————————12分
