2006-2007学年上海市卢湾区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共40分，每小题4分）)1.化简AB→-AC→+BC→=________．2.若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为________．3.设向量a→=(1,-2)，b→=(-2,4)，c→=(-1,-2)，若向量a→，b→，c→，d→首尾相接能构成四边形，则向量d→=________．4.有一边长为1的正方形ABCD，AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，则|a→-b→+c→|=________．5.一根铁棒在20∘C时长10.4025米，在40∘C时长10.4050米．若铁棒长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，则这根铁棒在25∘C时的长度为________米．6.抛物线y=8x2的焦点坐标为________．7.若点A(1, a)与原点在直线l:x+y-1=0的同侧，则实数a的取值范围为________．8.过椭圆x225+y29=1的中心的直线与椭圆交于A、B两点，F1是椭圆的右焦点，则△ABF1的面积的最大值为________．9.若双曲线C的两条渐近线的方程为y=±34x，则该双曲线方程可以为________．（只需写出一个满足题设的双曲线方程）10.下列四个命题；①直线x⋅cosθ-y+1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围为[π4,3π4]；②直线l1:a1x+b1y+c1=0(a12+b12≠0)与直线l2:a2x+b2y+c2=0(a22+b22≠0)，则|a1a2b1b2|=0是直线l1、l2平行的必要不充分条件；③圆C:x2+y2=r2及点P(x0, y0)，若过点P作圆C的两条切线分别交圆C于A、B两点，则过AB的直线方程为xx0+yy0=r2；④方程x2t-1+y21-t=1不可能表示圆；其中正确命题的序号为________．二、选择题（共16分，每小题4分）)11.若点P的坐标为(a, b)，曲线C的方程为F(x, y)=0，则F(a, b)=0是点P在曲线C上的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12.若a→=(x1,y1)，b→=(x2,y2)都是非零向量，且a→与b→垂直，则下列行列式的值为零的是（）A.x1y1x2x2B.x1y1y2x2C.x1y1-x2y2D.x1y1-y2x213.若直线l是圆(x-1)2+(y+3)2=1的一个切线方程，则直线l的方程可以是（）试卷第3页，总4页
A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=014.设F1，F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→⋅PF2→=0，则|PF1→|⋅|PF2→|的值等于（）A.2B.22C.4D.8三、解答题（本大题共44分，第15、16、17题每题8分，第18、19题每题10分）)15.已知直线l:2ax+ty+3a=0(t≠0, a∈R)经过点(1, -1)，求直线l的倾斜角α（结果精确到1∘）16.设P是圆(x-1)2+y2=4上任意一点，过P作PQ⊥x轴，Q为垂足，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并画出图形．17.定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，则三角形ABC的面积可以表示为S△ABC=|12x1y11x2y21x3y31|．已知抛物线y2=4x，过抛物线焦点F斜率为43的直线l与抛物线交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）若P(3, 0)，试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．18.已知平面上三个向量a→，b→，c→的模均为1，它们相互之间的夹角均为120∘．（1）求证：(a→-b→)⊥c→；（2）若|ka→+b→+c→|>1 (k∈R)，求k的取值范围．19.已知圆锥曲线C:x216+y2t2-2t=1(t≠0且t≠2)，其两个不同的焦点F1、F2同在x轴上．（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；（2）试在曲线C上求满足PF1→⋅PF2→=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．试卷第3页，总4页
参考答案与试题解析2006-2007学年上海市卢湾区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共40分，每小题4分）1.0→2.(2, 5)3.(2, 0)4.25.10.4031256.(0,132)7.(-∞, 0)8.129.x216-y29=1（答案不唯一）10.②③④二、选择题（共16分，每小题4分）11.C12.D13.C14.A三、解答题（本大题共44分，第15、16、17题每题8分，第18、19题每题10分）15.解：由直线l:2ax+ty+3a=0(t≠0, a∈R)经过点(1, -1)，得2a-t+3a=0，所以t=5a，则l:2ax+5ay+3a=0，显然a≠0，所以直线l的斜率k=-25，即tanα=-25，得α=158∘．16.解：设M(x, y)，则由中点坐标公式得P(x, 2y)，因为P在圆(x-1)2+y2=4上，所以(x-1)2+4y2=4，整理得，(x-1)24+y2=1．图形如图，试卷第3页，总4页
17.解：（1）抛物线y2=4x中，p=2，p2=1，故抛物线的焦点的坐标为(1, 0)，设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)和（x2, y2 ），由题意有可得直线AB的方程为 y-0=43(x-1)，即y=43(x-1)，代入抛物线y2=4x的方程化简可得 y2-3x-4=0，∴y1=-1，y2=4，则x1=14，x2=4故A(4, 4)、B(14，-1)；（2）由于不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，则三角形ABC的面积可以表示为S△ABC=|12x1y11x2y21x3y31|又由A(4, 4)、B(14，-1)，则四边形APBO的面积S=S△AOB+S△APB=|1244114-11001|+|1244114-11301|=152．18.解：（1）证明∵(a→-b→)⋅c→=a→⋅c→-b→⋅c→=|a→|⋅|c→|⋅cos120∘-|b→|⋅|c→|⋅cos120∘=0，∴(a→-b→)⊥c→．（2）解|ka→+b→+c→|>1⇔(ka→+b→+c→)2>1，即k2a→2+b→2+c→2+2ka→⋅b→+2ka→⋅c→+2b→⋅c→>1．∵|a→|=|b→|=|c→|=1，且a→，b→，c→相互之间的夹角均为120∘，∴a→2=b→2=c→2=1，a→⋅b→=b→⋅c→=a→⋅c→=-12，∴k2+1-2k>1，即k2-2k>0，∴k>2或k<0．19.解：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，当t2-2t>0t2-2t<16，即t∈(1-17，0)∪(2,1+17)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，当t2-2t<0即t∈(0, 2)时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线．（2）满足PF1→⋅PF2→=0的P在以F1F2为直径的圆周上当t∈(0, 2)时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，P有4个当t∈(1-17，0)∪(2,1+17)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆此时a2=16，b2=t2-2t，c2=16-(t2-2t)若b<c，即t∈(-2, 0)∪(2, 4)时，P有4个若b=c，即t=-2或t=4时，P有2个若b>c，即t∈(1-17，-2)∪(4,1+17)时，P不存在．试卷第3页，总4页
