2020-2021学年成都市大邑县八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列数8，π2，-187，0．5⋅，-9，1.3232232…(每两个3之间多一个2)中，无理数的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.分别以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是( )A.a：b：c=2：3：4B.a=5，b=3，c=2C.a=8，b=15，c=17D.a=b=5，c=533.下列实数中，是无理数的是( )A.0.3B.9C.πD.2274.点P(a+b,2a-b)与点Q(-2,-3)关于X轴对称，则a+b=( )A.B.C.-2D. 25.要说明命题：“一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形”是假命题，可以举的反例是A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.直角梯形6.在同一直角坐标系中，P、Q分别是y=-x+3与y=3x-5的图象上的点，且P、Q关于x轴对称，则点P的坐标是( )A.(-12,72)B.(-2,5)C.(1,2)D.(-4,7)7.如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=40°，则∠2的度数是( )A.30°B.60°C.120°D.140°8.下列四组值中不是二元一次方程y=2x+1的解的是( )A.x=0y=1B.x=1y=3C.x=-12y=0D.x=-1y=19.下图是甲，乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差s甲2和s乙2的大小关系是( )
A.s甲2>s乙2B.s甲2=s乙2C.s甲2<s乙2D.无法确定10.已知函数y=k(x+1)和y=kx，那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）11.计算：3-8+(13)-2+(π-4)0=______．12.已知：|x-2|+(y-3)2=0，则y-x的值为______．13.如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C，并分别测∠BAC=90°，∠ABC=30°，又量得BC=100m，则A、B两点之间距离为______．14.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于x，y的方程组y-ax=bkx-y=0的解是______．
15.阅读下面的化简过程，并解答后面的问题：15+4=5-4(5+4)(5-4)=5-4=5-2；16+5=6-5(6+5)(6-5)=6-5；计算：15-7的结果是______．16.已知x=1y=-2是方程2x+2my=-1的一组解，则m的值为______．17.如图，有一个圆柱，他的高为15㎝，底面半径为㎝，在A点的一只蚂蚁想吃到B点的食物，爬行的最短路程为________cm。18.如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，则PQ的长为 。19.已知一次函数y=(k-2)x+4，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）20.计算：(2-1)0-|1-32|-23+(cos30°)-1．21.已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．(1)求a的值及这个正数；(2)求关于x的方程ax2-16=0的解．22.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC=DFFE．
23.某中学为了丰富学生的体育活动，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，学校随机抽取了部分同学调查他们的兴趣爱好，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：(1)设学校这次调查共抽取了n名学生，n=______；(2)请你补全条形统计图；(3)设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？24.某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟．回来时他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用了1.5小时，求地面上A，B两地相距多少千米？25.今年，由于新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极恢复产能，每日口罩生产量y(百万个)与天数x(x为正整数)的函数关系图象如图所示．而该生产商对口供应市场对口罩的需求量不断上升，且每日需求量z(百万个)与天数x满足一次函数关系．已知第1天需求1500万个口罩，第6天需求2000万个口罩．(1)求y与x的函数关系式；(2)当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么二月份以来，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？
26.某机械加工厂有一种材科，可加工成甲、乙、丙三种型号机械配件共120个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每个人只能加工一种配件，根据下表提供的信息：配件种类甲乙丙每人每天可加工配件的数量865每个配件获利(元)121610解答下列问题：(1)设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式；(2)如果加工每种配件的人数均不少于3人．那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种方案的人员安排．(3)应采用(2)中哪种方案才能使此次加工配件的利润最大？并求出最大利润值．27.如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．(1)若AP=1，则AE=______；(2)①点O与△APE的位置关系是______，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；(3)在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP=______，AE达到最大值，最大值是______．
28.如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN．(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD=1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；(3)若点F为AB的中点，连接FN、FM(如图②)，求证：∠MFN=∠BDC．
参考答案及解析1.答案：C解析：解：在所列实数中，无理数有8，π2，1.3232232…(每两个3之间多一个2)这3个，故选：C．根据无理数的定义求解即可．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．2.答案：C解析：解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；B、22+(3)2≠(5)2，故不能构成直角三角形，不符合题意；C、82+152=172，故能构成直角三角形，符合题意；D、52+52≠(53)2，故不能构成直角三角形，不符合题意．故选：C．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3.答案：C解析：解：A.0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；B.9=3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C.π是无理数，故本选项符合题意；D.227是分数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4.答案：C解析：解：∵点P(a+b,2a-b)与点Q(-2,-3)关于x轴对称，
∴a+b=-2且2a-b=3，∴a=13，b=-73，∴a+b=13-73=-2．故选C．5.答案：A解析：“一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形”是假命题，可以举的反例是：等腰梯形．故选：A．6.答案：C解析：解：∵点P在y=-x+3的图象上，∴设点P的坐标为(a,-a+3)，∵P、Q关于关于x轴对称，∴点Q(a,a-3)，∴3×a-5=a-3，解得a=1，-a+3=-1+3=2，所以，点P的坐标为(1,2)．故选C．设点P的坐标为(a,-a+3)，根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数表示出点Q的坐标，然后代入y=3x-5计算即可得解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，用点P的坐标表示出点Q的坐标是解题的关键．7.答案：D解析：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．据此可得∠3，再根据∠3和∠2的是邻补角，直接解答．解：∵a//b，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°．
故选D． 8.答案：D解析：解：A、把x=0y=1代入方程得：左边=1，右边=1，左边=右边，是方程的解；B、把x=1y=3代入方程得：左边=3，右边=2+1=3，左边=右边，是方程的解；C、把x=-12y=0代入方程得：左边=0，右边=-1+1=0，左边=右边，是方程的解；D、把x=-1y=1代入方程得：左边=1，右边=-2+1=-1，左边≠右边，不是方程的解，故选：D．把各项中x与y的值代入方程检验即可．此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9.答案：A解析：本题考查了方差，熟练掌握方差的定义是解题的关键．根据方差的定义即可得到结论．解：由折线统计图可以看出甲2019年上半年每月电费支出比乙2019年上半年每月电费支出的数据波动大，故s甲2>s乙2，故选：A． 10.答案：B解析：解：y=k(x+1)=kx+k；若k>0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，B符合；若k<0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，所给各选项没有此种图形；故选B．把所给的第一个函数进行化简；根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．11.答案：8解析：解：原式=-2+9+1=8．故答案为：8．直接利用立方根的性质、负整数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12.答案：1解析：解：根据题意得，x-2=0，y-3=0，解得x=2，y=3，所以，y-x=3-2=1．故答案为：1．根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．13.答案：503解析：解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，BC=100m，∴AC=12BC=12×100=50(m)，在Rt△ABC中，AB=BC2-AC2=1002-502=503(m)．答：A、B两点之间距离为503m.先根据含30°直角三角形的性质求出AC，再在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用和含30°直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用和含30°直角三角形的性质．14.答案：x=-4y=-2解析：解：∵函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(-4,-2)，∴关于x，y的方程组y-ax=bkx-y=0的解是x=-4y=-2．
故答案为x=-4y=-2．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点横、纵坐标求得结果．本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．15.答案：-7-52解析：解：原式=-17-5=-7+5(7-5)(7+5)=-7-52．故答案为-7-52．把分子分母有乘以(7+5)，然后利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16.答案：34解析：本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是根据方程的解的概念得出关于m的方程．根据方程的解的概念将x=1y=-2代入2x+2my=-1，据此得出关于m的方程，解之可得．解：将x=1y=-2代入2x+2my=-1，得：2-4m=-1，解得：m=34，故答案为：34． 17.答案：17解析：解：将圆柱的侧面展开为矩形，B点在矩形长的中点上，A点在矩形的宽上，矩形长=2πR=2π×8π=16，根据勾股定理可得AB=(162)2+152=17cm，故爬行的最短路程为17cm．18.答案：3
解析：本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质．巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD，∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°，∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°，∵PQ=x，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=2x，又∵PE=1，∴AD=BE=2x+1=7，∴x=3，即PQ的长为3．故填3．
19.答案：k<2解析：本题主要考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．一次函数y=kx+b，当k<0时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可．解：∵一次函数y=(k-2)x+4，y随x的增大而减小，∴k-2<0，解得，k<2．故答案是k<2． 20.答案：解：原式=1-(1-32)-233+233=32．解析：分别进行零指数幂、绝对值的化简、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等运算，然后合并．本题考查了二次根式的混合运算，涉及了零指数幂、绝对值的化简、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识掌握运算法则是解答本题关键．21.答案：解：(1)由题意得，a+6+2a-9=0，解得a=1，所以(a+6)2=72=49，所以这个正数是49；(2)当a=1时，方程ax2-16=0为x2-16=0，x2=16，x=±4，所以关于x的方程ax2-16=0的解是x=4或x=-4．解析：(1)根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；(2)根据平方根的定义解答即可．本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，22.答案：(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，
∴△ABC∽△FDA，∴ABDF=BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD=ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BDDC=DFFE．解析：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠C，由已知∠ADE=∠B，证明△ABC∽△FDA，得出ABDF=BCAD，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF=∠BAD，由平行线的性质得出∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，证出∠BAD=∠E，证明△ABD∽△EDA，得出BDAD=ADAE，证出∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，求出△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=ADAE，即可得出结论．23.答案：100解析：解：(1)∵喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%，
∴25÷25%=100(人)，故答案为：100；(2)∵喜欢羽毛球的人数=100×20%=20人，∴条形统计图如图；(3)由已知得，1200×20%=240(人)．答；该校约有240人喜欢跳绳．(1)根据喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%即可得出总人数；(2)根据总人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图即可；(3)求出喜欢跳绳的人数占总人数的20%即可得出结论．本题考查的是条形统计图，熟知从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较是解答此题的关键．24.答案：解：设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意得：y12+x9=5560x8+y4=1.5，解得：x=6y=3．即A、B两地相距6+3=9千米．答：A、B两地相距9千米．解析：可以设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返的用时不同可得到两个关于x、y的方程，求方程组的解即可，然后求x、y的和即得A，B两地的距离．本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．25.答案：解：(1)当0≤x<18时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，由题意可得：46=18k+bb=10，
∴k=2b=10，∴y=2x+10，当x≥18时，y=46，综上所述：y=y=2x+10(0≤x<18)46(x≥18)；(2)设每日需求量z(百万个)与天数x满足一次函数关系为z=mx+n，由题意可得：15=m+n20=6m+n，解得：m=1n=14，∴z=x+14，当0≤x<18时，且y≥z，则2x+10≥x+14，∴x≥4，当x≥18时，且y≥z，∴x+14≤46，∴x≤32，∴4≤x≤32，且x为整数，∴市民无需预约即可购买口罩的天数共有29天，答：市民无需预约即可购买口罩的天数共有29天．解析：(1)分0≤x<18和x≥18，用待定系数法求解可得；(2)先求出z与x的函数关系式，由市场供应量不小于需求量，列出不等式，即可求解．本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数解析式及供求之间的数量关系．26.答案：解：(1)由题可得，8x+6y+5(20-x-y)=120，整理可得y=20-3x，(2)由题可得，x≥320-3x≥3，解得3≤x≤173，∵x为整数，∴x=3或4或5，
分配方案共3种，分别是：①加工甲种配件3人，乙种配件11人，丙种配件6人；②加工甲种配件4人，乙种配件8人，丙种配件8人；③加工甲种配件5人，乙种配件5人，丙种配件10人；(3)方案①的利润为12×8×3+16×6×11+10×5×6=1644元；方案②的利润为12×8×4+16×6×8+10×5×8=1552元；方案③的利润为12×8×5+16×6×5+10×5×10=1460元；∴采用方案“加工甲种配件3人，乙种配件11人，丙种配件6人”才能使此次加工配件的利润最大，最大利润值为1644元．解析：(1)甲、乙、丙三种型号机械配件共120个，加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，据此可得y与x之间的函数关系式；(2)依据加工每种配件的人数均不少于3人，即可得到x的取值，进而得出分配方案共3种；(3)求得三种方案的利润，即可得出哪种方案才能使此次加工配件的利润最大．此题主要考查了一次函数的应用，利用图表得出正确的信息是解决问题的关键．27.答案：(1)34;(2) ①点O在△APE的外接圆上 ②连接OA、AC，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC=42+42=42，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=12AC=22，即点O经过的路径长为22；(3) 2 1解析：解：(1)∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴AEBP=APBC，即AE4-1=14，解得：AE=34；故答案为：34；(2)①点O在△APE的外接圆上，理由是：证明：如图1，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE=90°，∴OQ=12PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ=12PE，∴OQ=AQ=EQ=PQ，∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，即点O在△APE的外接圆上；(到圆心的距离等于半径的点必在此圆上)，
故答案为：点O在△APE的外接圆上；②见答案；(3)设AP=x，则BP=4-x，由(1)得：△APE∽△BCP，∴AEBP=APBC，∴AE4-x=x4，∴AE=14(x-2)2+1，∴x=2时，AE的最大值为1，即当AP=2时，AE的最大值为1．故答案为：2，1．(1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠BPC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；(2)①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；②连接OA、AC，由勾股定理求出AC=42，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；(3)设AP=x，则BP=4-x，由：△APE∽△BCP，得AEBP=APBC，计算AE=14(x-2)2+1，得结论．本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，难度较大．28.答案：(1)证明：如图①，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，∴∠MAB=∠EBC，∵MB=MN，∴△MBN是等腰直角三角形，∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；(2)解：设BM=CM=MN=a，∵四边形DNBC是平行四边形，∴DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵AB=DB∠ABN=∠NBEBN=BN,∴△ABN≌△DBN(SAS)，∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2，可得：(2a+a)2+a2=1，解得：a=±1010(负值舍去)，∴BC=2a=105；(3)解：∵F是AB的中点，∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，∴∠MAB=∠FMN，∵∠MAB=∠CBD，∴∠FMN=∠CBD，∵MFAB=MNBC=12，即MFBD=MNBC，∴△MFN∽△BDC，∴∠MFN=∠BDC．解析：本题是四边形和三角形的综合题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；(2)设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案；
(3)F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由MFAB=MNBC=12，即MFBD=MNBC，得△MFN∽△BDC，即可得证．
