江苏省响水中学2022年春学期高一年级第三次学情分析考试数学试题命题人：考生注意：1、本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．2、满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再利用交集的运算求解.【详解】因为集合，所以，故选：C.2.命题“存在，使得”的否定是（）A.对任意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.对任意，都有【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“存在使得”为特称命题，该命题的否定为“对任意，都有”.故选：A.3设，则（）\nA.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由x的范围，和三角函数线得，将化简，得答案.【详解】因为，由三角函数线的图像可知，则故选：A【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题.4.已知是方程的一个根，则（）A.B.3C.6D.2【答案】A【解析】【分析】由题意，将代入方程，化简整理，可得，列出方程组，可求得m、n的值，即可得答案.【详解】因为是方程的一个根，所以，整理得，\n所以，解得，所以.故选：A5.若函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之和等于（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合三角函数的图象，求得b﹣a的最大值和b﹣a的最小值，可得结论．【详解】解：由于函数y＝2sinx的最大值为2，最小值为﹣2，而函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，]，不妨假设[a，b]中含有，如图所示，当b﹣a最大值时，a，b，此时，b﹣a；当b﹣a最小值时，a，b，此时，b﹣a，故b﹣a的最大值和最小值之和等于.故选：D．6.设a是函数的零点，若，则的值满足（）A.B.C.D.以上都有可能\n【答案】C【解析】【分析】先判断出函数的单调性，根据单调性可得的符号，从而得到正确的选项.【详解】因为为增函数，为减函数，故为上的增函数，故，故选：C.7.在中，内角，，所对的边分别为，，，角为锐角，若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和三角恒等变换求出，再用表示，从而求得的值．【详解】解：中，，由正弦定理得；又，所以，整理得，即，且；又，所以，当且仅当时取“”；\n所以的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了三角函数求值问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是中档题．8.在三棱锥中，平面，，，，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由平面，直线与平面所成角的最大时，最小，也即最小，，由此可求得，从而得，得长，然后取外心，作，取H为的中点，使得，则易得，求出的长即为外接球半径，从而可得面积．【详解】三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，如图所示；则，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距离为，，，在中可得，又，，可得；取的外接圆圆心为，作，取H为的中点，使得，则易得，由，解得，，，，\n由勾股定理得，所以三棱锥的外接球的表面积是.【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定球的球心，三棱锥的外接球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分）9.下列判断错误的是（）A.B.是不等式成立的充分不必要条件C.是定义域上的减函数D.函数过定点【答案】AC【解析】【分析】利用元素与集合的关系可判断A选项的正误；解不等式，利用集合的包含关系可判断B选项的正误；根据反比例函数的单调性可判断C选项的正误；由指数函数的性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，解不等式可得或，\nÜ或，所以，是不等式成立的充分不必要条件，B选项正确；对于C选项，函数在定义域上不单调，C选项错误；对于D选项，令，可得，此时，所以，函数过定点，D选项正确.故选：AC10.设P是所在平面内的一点，则A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.11.已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A.函数在上的值域为B.点是函数图象的一个对称中心C.直线是函数图象一条对称轴D.函数在上为增函数\n【答案】CD【解析】【分析】先根据三角恒等变换结合周期为得，然后由三角函数的图象和性质逐一判断四个选项即可.【详解】，所以最小正周期，解得，则.对于选项A：当时，，，则，故A错误；对于选项B：，所以是图象的一个对称中心，故B错误；对于选项C：，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；对于选项D：令，当时，，因为在上为增函数，所以函数在上为增函数，故D正确.故选：CD.12.已知四边形是边长为1的正方形，将其沿着对角线折成四面体，则A.B.四面体的外接球的表面积为C.四面体体积的最大值为D.直线与直线不可能垂直【答案】ABD【解析】\n【分析】画出折叠前后的图象，对A，可证面，再得；对B，可由，得到外接球的半径，得到外接球的表面积；对C，当时，四面体体积最大；对D，可假设，再得到矛盾，得到线与直线不可能垂直.【详解】画出折叠前后的图象，如图所示对A，由，而，得面，又面，得，故A正错；对B，由，知四面体的外接球的半径，表面积为，故B正确；对C，当面时，体积的最大，最大为，故C错误；对D，若，又，且，则面，又面，得，而，又，则面，得，则，由题，则，这不可能，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了空间线、面位置关系，线线、线面的垂直问题，四面体的外接球问题，四面体的体积的计算，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数据的标准差为，则数据的标准差为________．【答案】\n【解析】【分析】由数据标准差可得方差，根据方差的性质可得新数据的方差，由此得到标准差.【详解】数据的标准差为，则其方差为，的方差为，则其标准差为.故答案为：.14.已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得到x、y的关系式，再由题给条件得到关于m的不等式，利用均值定理即可得到实数的取值范围.【详解】以C为原点分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系如图：则，则则，又点P在直线：上，则有，即由恒成立，可得恒成立，\n由，可得则（当且仅当时等号成立）又，，则则，则，则，则实数的取值范围是故答案为：15.如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于_____. 【答案】【解析】【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，所以组合体的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了圆锥，圆柱的侧面积的公式，组合体的表面积的理解，属于容易题.16.如图，有一壁画，最高点A处离地面12米，最低点B处离地面7米．若从离地面4米的C处观赏它，若要使视角最大，则离墙的距离为________．\n【答案】米【解析】【分析】利用两角差的正切公式，先求得关于视角的正切表达式，再利用均值定理即可求得当视角最大时离墙距离的值.【详解】过点C作于D，设，，，则在和中，则（当且仅当时等号成立）又，则当米时，视角最大.即离墙的距离为米时，视角最大.故答案为：米四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．\n17.已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且（i为虚数单位），||=．（I）求的值；（II）若的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．【答案】（I）或（II）【解析】【分析】（I）设，得出的表达式，根据和列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.（II）根据（I）的结论确定的值.代入运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得的值.【详解】解：（I）设（x，y∈R），则=－x+yi，∵z1（1－i）=（1+i），||=，∴，∴或，即或（II）∵的虚部大于零，∴，∴，则有，∴，∴．【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题.18.2020年1月我国出现了新冠肺炎疫情，为了阻断传播途径，有效控制疫情的蔓延，全国各地都实行了居家隔离.某城市为了保障居家隔离期间对居民的供水，随机抽取了2019年12月份200户居民的用水量与2020年1月份的用水量进行对比，以便更好地确定下一步供水工作的工作计划.经过整理得到抽取的2019年12月份200户居民用水量（单位：立方米）的频率分布直方图如图.\n（1）（ⅰ）求抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数；（ⅱ）根据频率分布直方图的数据估计全市118.2万户居民中有多少万户用水量在范围内；（2）为了进一步了解用水量在，，范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访.（ⅰ）各个范围各应抽取多少户？（ⅱ）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率.【答案】（1）（ⅰ）80户；（ⅱ）47.28万户；（2）（ⅰ）范围内的应抽取3户，范围内的应抽取2户，范围内的应抽取1户；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）（ⅰ）由频率分布直方图求得频率，由频率求频数即可；（ⅱ）用样本分布估计总体分布求总体数据；（2）（ⅰ）利用分层抽样即可求解；（ⅱ）利用古典概型的概率公式求解概率即可.【详解】（1）（ⅰ）由频率分布直方图可知用水量在范围内的居民户数的频率为，所以抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数为（户）.（ⅱ）把用水量在范围内的居民户数的样本频率当成总体的频率，估计全市118.2万户居民中有（万户）用水量在范围内.（2）（ⅰ）把用水量在，，范围内的居民数分成三层，各层频率分别为，，，\n所以用水量在范围内的应抽取（户），用水量在范围内的应抽取（户），用水量在范围内的应抽取（户）.（ⅱ）记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，把抽取的用水量在范围内的3户分别记为，，，把抽取的用水量在范围内的2户分别记为，，把抽取的用水量在范围内的1户记为c，从6户中随机抽取3户的所有等可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，所以3户分别来自3个不同范围的概率.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、分层抽样与古典概型，考查运算求解能力，考查数据分析核心素养.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.在中，，，分别是角，，的对边，已知___________，，且中的面积，求的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；周长为.【解析】【分析】选①，由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式化简后可得\n角，由三角形面积求得，结合已知，利用余弦定理可求得，从而得三角形周长；选②，由三角形面积公式，结合余弦定理，化边为角，由正切函数得角，下面同①；选③，正弦定理化边为角，利用两角差的余弦公式化简后可求得角，下面同①．【详解】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用选①，由及正弦定理得，，整理得，，因为，故，所以，，又因为，.由，得，即.又，由余弦定理得，所以(负舍).又，故(负舍)，选②，由，得，即.由余弦定理知，故，又，显然，得，，下同①.选③，由及正弦定理得，，又，，故，即，得，又，显然，故，，\n下同①.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，三角函数的恒等变换，解题关键是利用正弦定理化边为角，然后利用两角和与差的三角函数公式，诱导公式等化简变形求得角．20.如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，，平面平面，二面角的大小为．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先由题给条件推理得到二面角的平面角为，进而利用线面垂直判定定理去证明平面即可；（2）先推理得到直线与平面所成的角小问1详解】四棱锥中，底面四边形是矩形，则又平面平面，平面平面,平面则平面，则，，则为二面角的平面角，则又，则，即又，，则平面【小问2详解】在底面内，过点B作于E，连接\n由（1）知，平面，又平面则，又，则平面，则则为直线与平面所成的角又，则直线与平面所成的角的正弦值为21.已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义可求的值.（2）先计算出，再求出它在上的最大值后可求的取值范围.（3）根据可得，令，求出该函数在的值域后可求的取值范围.【详解】（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，即，\n整理得到：恒成立，解得或（舍）（2）当时，，∴.（3）由（1）知，，即，即即在上有解，在上单调递减，的值域为，∴.【点睛】本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题.22.如图，分别是矩形的边和上的动点，且.（1）若都是中点，求.（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.（3）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求.（2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值.\n（3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值.【详解】（1）以点A为原点建系，得,,，∴.（2）由（1）知，设，∴，，∴当时，最大值.（3）设，则，∴，当且仅当时，等号成立，故最小值是.
