高二理科数学下册期末测试数学（理科）试卷（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数满足（为虚数单位），则（▲）A．B．C．D．2．如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量可表示向量（▲）A．B．C．D．3．已知，为虚数单位，若复数是纯虚数，则的值等于（▲）A．B．C．D．4．下列命题中是真命题的为（▲）A．，B．，C．，，D．，，5．函数在内的图象如图所示，若函数的导函数的图象也是连续不间断的，则导函数在内有零点（▲）A．个B．个C．个D．至少个6．已知双曲线的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（▲）A．B．C．D．7．与命题：“若，则”等价的命题是（▲）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．已知点是抛物线上的一动点，为准线，过点作直线的垂线，垂足为，已知定点，则当点在该抛物线上移动时，的最小值等于（▲）9/9\nA．B．C．D．9．已知空间向量满足条件：，且，则空间向量的夹角（▲）A．等于B．等于C．等于D．不确定10．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（▲）A．B．C．D．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的▲条件（供选填之一：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．12．已知复数，是的共轭复数，则复数所对应的点在复平面内的第▲象限内．13．已知椭圆，焦点在轴上，若焦距等于，则实数▲．14．已知函数是R上的可导函数，且，则函数的解析式可以为▲．（只须写出一个符号题意的函数解析式即可）15．已知空间向量，，若//，则▲．16．已知函数，则函数的单调递增区间为▲．17．某同学认为成立，其理由是看上去和谐．请举出两个类似的等式，也是看上去具有和谐美，但实际上都是错误的．等式一（要求与“导数”或“三角”有关）：▲；等式二（要求与“向量”或“函数”有关）：▲．[注：不按要求作答的不给分！]三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分10分）如图，过点的两直线与抛物线相切9/9\n于两点，且和均垂直于直线，垂足分别为，得矩形．（1）求两切点的坐标（用表示）；（2）设矩形的面积为，求的最大值．19．（本小题满分10分）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，点分别为的中点，且平面，与相交于点．（1）求证：；（2）若，求二面角的大小．20．（本小题满分10分）已知二次函数，其中．（1）求值：；（2）求证：中至少有一个不小于．9/9\n21．（本小题满分12分）已知抛物线：，焦点为，其准线与轴交于点；椭圆：分别以为左、右焦点，其离心率；且抛物线和椭圆的一个交点记为．（1）当时，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，若直线经过椭圆的右焦点，且与抛物线相交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程．22．（本小题满分10分）已知函数的图象与轴交于三点．若点的坐标为，且函数在区间和上有相同的单调性，在区间和上有相反的单调性．（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）求的最大值和最小值．9/9\n慈溪市2022学年第二学期高二期末测试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10题每小题4分，共40分.１.A ２.Ｄ ３.A ４.C ５.Ｄ ６.A ７.D ８.Ａ ９.C １０.Ｃ二、填空题:本大题共７小题，每小题4分，共2８分.１１.充分不必要;１２.二;１３.8 ; １４.（为常数）; 1５.; １６.;１７.，，，，，，等等.注：第16题缺少一个扣2分，出现“”扣1分，写成开区间算对；第17题每个2分,不按要求作答的不给分！三、解答题:本大题共５小题，共52分.（注：后附数字为该步得分，其它解法参照给分）18.（本小题满分10分）（1）设切点为，则，∵，∴切线方程为即…………………………………………2分∵切线经过点，∴…………………………1分即，于是，得……………………………1分9/9\n∴……………………………………1分[注：另法参考：设切线方程为，代入抛物线方程后由可得到切点坐标]（2）可知，∴（0＜＜2)…………2分∴…………………………………………1分∴当0＜＜时，＞0；＜＜2时，＜0…………1分∴当时，有最大值………………………………1分19.（本小题满分10分）方法（一）：（１）∵平面ABCD,∴PABD即BD………………………………1分又∵为菱形,∴……………………………………1分∴平面,……………………………………1分又∵分别是的中点,∴∥…………………………1分∴……………………………………………………1分 （２）设为中点，则平面，，作交于，则平面，是中点，得，故即二面角的平面角…………………………………………2分 ∵，∴，………………………………1分 ∴在中，，得………………2分方法（二）：（１）∵是的中点，故，以分别为轴建立空间直角坐标系，设…………………………1分则∴………………………………1分，，即…3分9/9\n （２）平面的法向量为n＝(0,0,1),设平面的法向量为n=∵,∴,,而∴由得∴平面的法向量可取n=（-1，，）……………………3分设二面角的大小为，则，…………………………2分20.（本小题满分10分）（1）…3分(2)假设都小于，则＜2……3分而≥……………………2分与假设矛盾！……1分故中至少有一个不小于.…………………………1分注：另法参考：假设都小于……1分则……3分由上述第一、二式可得—4＜＜—2，第二、三式可得—6＜＜—4……4分这两式显然矛盾，故假设不成立…1分所以中至少有一个不小于……1分.21.（本小题满分12分）(1)当时,F(1,0),F(-1,0)…………………………………1分9/9\n设椭圆的标准方程为(＞＞0),∴=1,=………………1分∵,∴=2,=…………………………………1分故椭圆的标准方程为=1.…………………………………1分(2)(ⅰ)若直线的斜率不存在，则：=1，且A（1，2），B（1，-2），∴=4又∵的周长等于=2+2=6∴直线的斜率必存在.…………………………………2分（ⅱ）设直线的斜率为，则：由，得∵直线与抛物线有两个交点A，B∴，且设则可得，…………………2分于是=====………………2分∵的周长等于=2+2=6∴由=6，解得=故所求直线的方程为.………………………………2分22．（本小题满分10分）9/9\n（1）由条件可知在区间[—1，0]和[0，2]上有相反的单调性，所以是的一个极值点，而，故.……………………………………2分（2）令，则，解得.……………1分又在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，得解得.…………………………………2分（3）设A（，0），C（，0），则由题意可令=…………………2分则，解得又∵函数的图象交轴于B（2，0），∴即∴，…………………………1分从而=…………1分∵∴当时，=；当时，=3.……1分9/9
