201年湖北省八市高三年级三月联考数学（理工类）本试卷共4页，共22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2.选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，是方程的两相异根，当时，则为A．B．C．D．2．在的展开式中，项的系数为A．45B．36C．60D．1203．有下列关于三角函数的命题2468024682468yzx，若，则；与函数的图象相同；；的最小正周期为．其中的真命题是A．，B．，C．，D．，4．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系、、三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为A．94B．32C．64D．165．某单位为了了解某办公楼用电量y(度)与气温x(oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温(oC)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得到线性回归方程，当气温为－4oC时，预测用电量约为A．68度B．52度C．12度D．28度-12-6．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式给定，若为D上任一点，点A的坐标为，则的最大值为A．3B．4C．D．7．从半径为R的球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为A．B．C．D．8．已知函数，且，则函数的一个零点是A．B．C．D．9．点为双曲线的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆相切于点Q，且，则双曲线的离心率等于A．B．C．D．210．设函数，，若的解集为M，的解集为N，当时，则函数的最大值是A．0B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题（11-14题）11.已知向量，，向量，用，表示向量，则=▲．是否输出s开始结束12．设为等比数列，其中，，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出结果为▲．-12-13．在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则该点落在圆C内的概率为▲．14．在平面直角坐标系中，二元方程的曲线为C．若存在一个定点A和一个定角，使得曲线C上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线C为旋转对称曲线．给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是▲（填上你认为正确的曲线）．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分。）15．如图，圆O的圆心在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC交于点D、E，AD=DE=EC，AB=，则直角边BC的长为▲．16．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，，则C的参数方程为▲．三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。17．（本题满分12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）若，且，求的值．18．（本题满分12分）已知数列满足，且（Ⅰ）用数学归纳法证明：（Ⅱ）设，求数列的通项公式.-12-19．（本题满分12分）如图1在中，，D、E分别为线段AB、AC的中点，．以为折痕，将折起到图2的位置，使平面平面，连接，设F是线段上的动点，满足．（Ⅰ）证明：平面；图1ADBEC（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．BDEC图2FCADEFB20．（本题满分12分）某物流公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处．若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示（例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）．（Ⅰ）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（Ⅱ）若记路线A→C→F→B中遇到堵车的次数为随机变量，求的数学期望．21．（本题满分13分）椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分14分）已知函数和直线．（Ⅰ）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求原点到直线的距离；（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求的取值范围；-12-（Ⅲ）求证：．2022年湖北省八市高三年级三月联考数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1．C2．B3．D4．B5．A6．B7．B8．A9．C10．D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。11．12．413．14．15．716．三、解答题。本大题共6小题，共75分。17．（Ⅰ）解：由已知可得………………3分BC==4，……………………………………4分由图象可知，正三角形ABC的高即为函数的最大值，得………………………………………………………6分-12-（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知即∵，∴∴…………………8分∴……………………………12分18．（Ⅰ）证明：①当时，，②假设当时，结论成立，即，则当时，又综上①②可知………………………………………………6分（Ⅱ）由可得：即……………………8分令，则又∴是以1为首项，以2为公比的等比数列，，即………………………………………………………12分BDEC图2F19．（Ⅰ）平面平面,-12-∴平面∴∴……………………………………2分在直角三角形中，∴得∴，又∴……………………………………………………6分（Ⅱ）作设BE交DC于O点，连OF，由（Ⅰ）知，为二面角F－BE－C的平面角………………………7分由∴，∴在………………10分得，………………………………………………………………12分方法2：，设BE交DC于O点，连OF，则为二面角F－BE－C的平面角…………………………………7分又∴由得……………………………………………8分-12-在直角三角形中，∴由得从而得，…………12分方法3：（向量法酌情给分）以D为坐标原点DB，DE，D分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），（0，0，2），B（2，0，0），C（2，，0），E（0，，0）.（Ⅰ）∵∴∵∴又，∴平面又平面所以平面平面…………………………………………6分（Ⅱ）设设平面BEF的法向量为，取……………………………………………………8分又平面BEC的法向量为∴得解得，又∵-12-∴……………………………………………………………12分20．（Ⅰ）路线A→E→F→B途中堵车概率为；路线A→C→D→B途中堵车概率为；路线A→C→F→B途中堵车概率为．所以选择路线路线A→E→F→B的途中发生堵车的概率最小……………6分（Ⅱ）解法一：由题意，可能取值为0，1，2，3．，，，．………………12分解法二：设表示路线AC中遇到的堵车次数；表示路线CF中遇到的堵车次数；表示路线FB中遇到的堵车次数；则，∵，，，∴………………………………12分21．（Ⅰ），由题设可知，得①……………………1分又点P在椭圆C上，②③……………………3分①③联立解得，………5分-12-故所求椭圆的方程为……………………………………………………6分（Ⅱ）方法1：设动直线的方程为，代入椭圆方程，消去y，整理，得（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又，所以得…………………………………………………………8分假设存在满足题设，则由对任意的实数恒成立.所以，解得，所以，存在两个定点，它们恰好是椭圆的两个焦点.……13分方法2：根据题设可知动直线为椭圆的切线，其方程为，且假设存在满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，所以，存在两个定点，它们恰好是椭圆的两个焦点.……13分22．（Ⅰ）………………………………………………………………2分-12-∴，于是，直线l的方程为……3分原点O到直线l的距离为…………………………………………………4分（Ⅱ），设，即…………………………………………6分①若，存在使，，这与题设矛盾…7分②若，方程的判别式，当，即时，，∴在上单调递减，∴，即不等式成立…………………………………………………8分当时，方程，设两根为，当单调递增，与题设矛盾，综上所述，………………………………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，时，成立．不妨令，所以，……………………………………11分…………………………………………12分-12-累加可得．………………………………………………14分命题人：天门市教科院刘兵华仙桃市教科院曹时武随州市曾都一中刘德金-12-
