江西省南昌市第十中学2022-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（ ）A.②B.①②C.①②③D.①③④2.函数y=1−2x的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=（ ）A.(−12,12]B.(−12,12)C.(−∞,−12)D.[12,+∞)3.函数y=loga（2x-1）-1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（ ）A.(12,−1)B.(1,−1)C.(1,0)D.(12,0)4.下列函数中，增长速度最快的是（ ）A.y=5xB.y=x5C.y=log5xD.y=5x5.已知a=2log52，b=21.1，c=(12)−0.8，则a、b、c的大小关系是（ ）A..a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a6.已知P={a，b}，Q={-1，0，1}，f是从P到Q的映射，则满足f（a）=0的映射的个数为（ ）A.1B.2C.3D.47.函数f（x）=2−2x+1log3x的定义域为（ ）A.{x|x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|x>1}8.已知函数f（x）=ax2-x+a+1在（-∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（ ）A.[0,4]B.[2,+∞)C.[0,14]D.(0,14]9.设定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y），且f（2）=4，则f（0）+f（-2）的值为（ ）A.−2B.−4C.0D.410.函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-（x-1）在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A.B.C.D.13/13\n1.若函数f（x）=ax−6,x>7(3−a)x−3,x≤7单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A.(94,3)B.[94,3)C.(1,3)D.(2,3)2.已知函数f（x），若在其定义域内存在实数x满足f（-x）=-f（x），则称函数f（x）为“局部奇函数”，若函数f（x）=4x-m•2x-3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）A.[−3,3)B.[−2,+∞)C.(−∞,22]D.[−22,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）3.计算：log327+lg25+lg4+7log72-(827)−13=______．4.函数f（x）=（n2-n-1）xn是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数n=______．5.函数y=ln（x2+3x-4）的单调递减区间是______．6.下列几个命题：①方程x2+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y=x2−1+1−x2是偶函数，但不是奇函数；③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]；④一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的有______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）7.设全集为R，A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，C={x|a-1＜x＜2a}．（1）求A∩B及∁R（A∩B）；（2）若（A∩B）∩C=∅，求实数a的取值范围．8.已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2-x）．（1）在给定的图示中画出函数f（x）的图象（不需列表）（2）求函数f（x）的解析式；（3）若方程f（x）=2a有四个根，求实数a的取值范围．13/13\n1.已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=-2x+1且f（2）=15．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2-2m）x-f（x）；①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．2.已知函数f（3x-2）=x-1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x-2）+3．（1）求函数y=f（x）的解析式与定义域；（2）求函数y=g（x）的解析式与定义域．3.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为（-1，1）上的奇函数，且a＞0．（1）用定义证明：函数f（x）在（-1，1）上是增函数，（2）若实数t满足f（2t-1）+f（t-1）＜0，求实数t的范围．4.已知指数函数f（x）的图象经过点（-1，3），g（x）=f2（x）-2af（x）+3在区间[-1，1]的最小值h（a）；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的最小值h（a）的表达式；（3）是否存在m，n∈R同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．13/13\n13/13\n答案和解析1.【答案】B【解析】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．2.【答案】A【解析】解：由函数有意义，得到1-2x≥0，解得：x≤，所以集合A={x|x≤}；由函数y=ln（2x+1）有意义，得到2x+1＞0，解得：x＞-，所以集合B={x|x＞-}，在数轴上画出两集合的解集，如图所示：则A∩B=（-，]．故选：A．根据负数没有平方根列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合A，根据负数和0没有对数列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合B，然后求出两集合的交集即可．此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集的运算．此类题往往借助数轴来计算，会收到意想不到的收获．3.【答案】B【解析】解：令2x-1=1，求得x=1，y=-1，函数y=loga（2x-1）-1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，-1），故选：B．令对数函数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象过定点的坐标．本题主要考查对数函数的单调性和特殊值，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：选项A、B、C、D分别为正比例函数，幂函数，对数函数，指数函数；故选：D．由题意，指数函数增长速度最快．本题考查了基本初等函数的增长速度变化，属于基础题．5.【答案】A【解析】13/13\n解：∵a=2log52，b=21.1，c=，∴a=2log52=log54＜1，b=21.1＞2，c==＜2，1＜c＜2根据函数y=2x单调性判断：b＞c＞a，故选：A．转化为同底数：a=2log52=＜1，b=21.1，c==，根据函数y=2x单调性判断答案．本题考查了指数函数的单调性，属于容易题．6.【答案】C【解析】解：P={a，b}，Q={-1，0，1}，f是从P到Q的映射，由f（a）=0，可得f（b）=-1，0，1三种情况，即为映射的个数为3，故选：C．由映射的定义可得f（b）=-1，0，1三种情况，即可得到映射的个数．本题考查映射的定义和应用，考查定义法的运用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则，即，得0＜x＜1，即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，故选：B．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．8.【答案】C【解析】解：对函数求导y′=2ax-1，函数在（-∞，2）上单调递减，则导数在（-∞，2）上导数值小于等于0，当a=0时，y′=-1，恒小于0，符合题意；当a≠0时，因函导数是一次函数，故只有a＞0，且最小值为y′=2a×2-1≤0，∴a≤，∴a∈[0，]，故选：C．对函数求导，函数在（-∞，2）上单调递减，可知导数在（-∞，2）上导数值小于等于0，可求出a的取值范围．本题主要二次函数的性质、考查函数的导数求解和单调性的应用．属于基础题．13/13\n9.【答案】B【解析】解：由题意令x=y=0，则有f（0）+f（0）=f（0），故得f（0）=0令x=2，y=-2，则有f（-2）+f（2）=f（0）=0，又f（2）=4∴f（-2）=-4∴f（0）+f（-2）=-4故选：B．观察题设条件可先令x=y=0求出f（0），再令x=2，y=-2求出f（-2），代入求f（0）+f（-2）的值本题考查函数的值，解题的关键是理解所给的恒等式，且根据其进行灵活赋值求出f（0），f（-2）的值．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=1+log2x是增函数，过（1，1）点，g（x）=2-（x-1）=是减函数，过（0，1）点，可知两个函数的图象只有C满足题意．故选：C．利用两个函数的单调性以及经过的特殊点图象经过即可．本题考查函数的图象的判断与应用，考查基本函数的单调性以及特殊点的判断，是基础题．11.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3-a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较，即（3-a）×7-3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．故选：B．利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（-x）=-f（x）有解即可；即4-x-m•2-x-3=-（4x-m•2x-3）；∴4x+4-x-m（2x+2-x）-6=0；即（2x+2-x）2-m（2x+2-x）-8=0有解即可；13/13\n设2x+2-x=t（t≥2），则方程等价为t2-mt-8=0在t≥2时有解；设g（t）=t2-mt-8，对称轴为；①若m≥4，则△=m2+32＞0，满足方程有解；②若m＜4，要使t2-mt-8=0在t≥2时有解，则需：；解得-2≤m＜4；综上得实数m的取值范围为[-2，+∞）．故选：B．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f（x）是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程（2x+2-x）2-m（2x+2-x）-8=0有解．可设2x+2-x=t（t≥2），从而得出需方程t2-mt-8=0在t≥2时有解，从而设g（x）=t2-mt-8，得出其对称轴为，从而可讨论m的值，求出每种情况下m的范围，再求并集即可．考查奇函数的定义，理解“局部奇函数”的定义，完全平方式的运用，换元法的应用，熟悉二次函数的图象．13.【答案】4【解析】解：原式=+lg（25×4）+2-==4．故答案为：4．利用对数和指数的运算性质即可得出．本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．14.【答案】-1【解析】解：函数f（x）=（n2-n-1）xn是幂函数，∴n2-n-1=1，解得n=-1或n=2；当n=-1时，f（x）=x-1，在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意；当n=2时，f（x）=x2，在x∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意．综上，n=-1．故答案为：-1．根据幂函数的定义与性质，求出n的值即可．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．15.【答案】（-∞，-4）【解析】13/13\n解：设t=x2+3x-4，则y=lnt为关于t的增函数，由t=x2+3x-4＞0得x＞1或x＜-4，即函数的定义域为（-∞，-4）∪（1，+∞），要求函数y=ln（x2+3x-4）的单调递减区间，等价为求t=x2+3x-4，（x＞1或x＜-4）的单调递减区间，∵当x＜-4时，函数t=x2+3x-4为减函数，即函数t=x2+3x-4的单调递减区间为（-∞，-4），即函数y=ln（x2+3x-4）的单调递减区间是（-∞，-4），故答案为：（-∞，-4）利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法，结合对数函数以及一元二次函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．注意要先求定义域．16.【答案】①④【解析】解：对于①，方程x2+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，由一元二次方程根与系数关系，得x1x2=a＜0，故①正确；对于②，函数的定义域为{x|x=±1}∴定义域中只有两个元素，并且f（1）=f（-1）=0，说明函数是既奇又偶函数，故②错；对于③，函数f（x+1）的图象可看作是由函数f（x）的图象向左平移一个单位而得，因此函数f（x+1）的值域与函数f（x）的值域相同，都是[-2，2]，故③错；对于④，对于曲线y=|3-x2|，设函数F（x）=|3-x2|因为F（x）满足F（-x）=F（x）成立，所以函数F（x）是偶函数当x≠0时，若F（x）=a成立，必有互为相反数的x值（至少两个x）都适合方程，又∵F（0）=F（±）=3，a=3时，F（x）=a的根除0外还有±，共3个根∴方程F（x）=a的根的个数是2个或2个以上，不可能是1个，原命题“曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．”成立，故④正确．故答案为：①④解：对各项依次加以判断：利用一元二次方程根与系数的关系，得到命题①正确；通过化简，得函数y=+=0，定义域为{1，-1}，函数是一个既奇又偶函数，得到②错误；通过函数图象的平移，得到函数f（x+1）的值域与函数f（x）的值域相同，都是[-2，2]，得到③错误；通过分析函数y=|3-x2|13/13\n的奇偶性，可得曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是2个、3个或4个，得到④正确．本题通过研究函数的定义域、值域、奇偶性和函数的零点等问题，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．17.【答案】解：（1）因为A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，所以A∩B={x|3＜x≤5}，∁R（A∩B）={x|x≤3或x＞5}．（2）因为A∩B={x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C=∅，当C=∅时，a-1≥2a，解得a≤-1；当C≠∅时，2a≤3a−1<2a或a−1≥5a−1<2a，解得-1＜a≤32或a≥6．综上，实数a的取值范围是（-∞，32]∪[6，+∞）．【解析】（1）由A={x|2＜x≤5}，B={x|3＜x＜8}，能求出A∩B及∁R（A∩B）．（2）由A∩B={x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C=∅，当C=∅时，a-1≥2a，当C≠∅时，或，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集、并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】解：（1）x≥0时，f（x）=x（2-x）；∴f（x）的图象过（0，0），（2，0），（1，1），从而可画出f（x）在[0，+∞）上的图象，根据偶函数的图象对称性即可画出f（x）在（-∞，0）上的图象，图象如下：（2）设x＜0，-x＞0，则：f（-x）=-x（x+2）=f（x）；∴f(x)=x(2−x)x≥0−x(x+2)x＜0；（3）由图象可知，0＜2a＜1；∴0＜a＜12；∴实数a的取值范围为(0，12)．【解析】13/13\n（1）容易画出x≥0时f（x）的图象，然后根据偶函数图象根据y轴对称即可画出x＜0时的f（x）的图象；（2）可设x＜0，从而得出-x＞0，从而可求出x＜0时的解析式，这样即可得出f（x）的解析式；（3）根据图象即可看出a满足：0＜2a＜1，解出a的范围即可．考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，二次函数图象的画法，求偶函数对称区间上解析式的方法，数形结合解题的方法．19.【答案】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，∵f（2）=15，f（x+1）-f（x）=-2x+1，∴4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=-2x+1；∴2a=-2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=-1，b=2，c=15，∴函数f（x）的表达式为f（x）=-x2+2x+15；（2）∵g（x）=（2-2m）x-f（x）=x2-2mx-15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x=0时，函数g（x）取最小值-15；当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x=m时，函数g（x）取最小值-m2-15；当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x=2时，函数g（x）取最小值-4m-11；∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为−15，m≤0−m2−15，0＜m＜2−4m−11，m≥2【解析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】解：（1）设t=3x-2，∵0≤x≤2，∴-1≤3x-2≤7，∴t∈[-1，7]，则x=log3（t+2），于是有f（t）=log3（t+2）-1，t∈[-1，7]∴f（x）=log3（x+2）-1（x∈[-1，7]），（2）根据题意得g（x）=f（x-2）+3=log3x+2又由-1≤x-2≤7得1≤x≤9∴g（x）=log3x+2（x∈[1，9]）【解析】设t=3x-2，于是有f（t）=log3（t+2）-1，求出t的范围，把t换为x，可得f（x）的解析式，进一步可求g（x）的解析式，再根据解析式求函数f（x）与g（x）的定义域；13/13\n本题主要考查求函数的定义域，同时考查求函数的解析式，换元法是解题的关键．21.【答案】解：（1）∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=b1=0，∴b=0，∴f(x)=ax1+x2…（2分）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，∴f（x1）-f（x2）=ax11+x12-ax21+x22=a(x1+x1x22−x2−x2x12)(1+x12)(1+x22)=a(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，∵a＞0，-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数．…（6分）（2）∵f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1），∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为（-1，1）上的奇函数，且a＞0．∴f（2t-1）＜f（1-t），∵函数f（x）在（-1，1）上是增函数，∴2t−1＜1−t−1＜2t−1＜1−1＜1−t＜1，解得0＜t＜23．故实数t的范围是（0，23）．…（10分）【解析】（1）由函数是定义域为（-1，1）上的奇函数，求出b=0，从而，利用定义法能证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；（2）推导出f（2t-1）＜f（1-t），由函数f（x）在（-1，1）上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数t的范围．本题考查函数单调性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.【答案】解：（1）设f（x）=ax，a＞0且a≠1，∵指数函数f（x）的图象经过点（-1，3），∴a-1=3，即a=13，∴f（x）=（13）x，（2）令t=（13）x，∵x∈[-1，1]，13/13\n∴t∈[13，3]，∴g（x）=k（t）=t2-2at+3，对称轴为t=a，当a≤13时，k（t）在[13，3]上为增函数，此时当t=13时，h（a）=k（13）=289-2a3当13＜a＜3时，k（t）在[13，a]上为减函数，在[a，3]上为增函数，此时当t=a时，h（a）=-a2+3，当a≥3时，k（t）在[13，3]上为减函数，此时当t=3时，h（a）=12-6a，∴h（a）=289−23a，a≤13−a2+3，13＜a＜312−6a，a≥3．（3）由（2）得m＞n＞3时，h（a）=12-6a在[n，m]中为减函数，若此时h（a）值域为[n2，m2]．则12−6m=n212−6n=m2，即6（m-n）=（m-n）（m+n），即m+n=6，与m＞n＞3矛盾，故不存在满足条件的m，n的值．【解析】（1）设f（x）=ax，a＞0且a≠1，代值计算即可求出，（2）利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式．（3）由（2）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n2，m2]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．本题考查的知识点是指数函数的综合应用，其中（2）的关键是利用换元法，将函数解析式化为二次函数，（3）的关键是判断h（a）在（3，+∞）上为减函数进而构造关于m，n的不等式组．13/13
