六陈高级中学2022届高三5月模拟考试数学理试题一．选择题：(本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数(为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的反函数是（）A．B．C．D．4．设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．5.若，且，则=（）A．0.8002BCD6．若为等差数列，是其前项的和，且，则=（）A.B.C.D.7．为曲线上的任意一点，在点处的切线的斜率为，则的取值范围是()A．B．C．D．8．已知正方体中，、分别为、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.09.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为（）A．B．C．D．1010．函数的图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A．B．C．D．11.给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、蓝），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（ ）（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）A.6种 B.12种 C.24种 D.48种12．已知函数的图象关于轴对称，且当成立，，则的大小关系是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在指定位置上）13．已知，(0，π)，则=.14．已知椭圆的离心率，其中一个顶点坐标为，则椭圆的方程为.15．已知向量，，若，则的最小值为.16．四棱锥的各顶点都在同一球面上，且矩形的各顶点都在同一个大圆上，球半径为，则此四棱锥的体积的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．17．（本小题满分10分）20220513在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，边上中线的长为．10（1）求角和角的大小；（2）求的面积．18．（本小题满分12分）中央电视台星光大道某期节目中，有5位实力均等的选手参加比赛，经过四轮比赛决出周冠军（每一轮比赛淘汰l位选手）．（1）求甲、乙两位选手都进入第三轮比赛的概率；（2）设甲选手参加比赛的轮数为X，求X的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）已知斜三棱柱—，侧面与底面垂直，∠，，且⊥，＝.（1）试判断与平面是否垂直，并说明理由；（2）求侧面与底面所成锐二面角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的极值；（2）求证：当时，.1021．（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．（1）求椭圆及动圆圆心轨迹的方程；（2）在曲线上有两点、，椭圆上有两点、，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．22．（本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且（1）证明数列是等比数列；（2）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小.102022年5月份月考试题（理科数学）参考答案4.做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小值为，选B。5．由对称轴为，知选A.6．选D。7．，故选C.8．如图，，是异面直线与所成的角，B1ADCEF第8题BADC111，选C。9．因为函数的最小值为，即。展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15，选A.11．由于涂色过程中，要保证满足条件（用四种颜色，相邻的面不同色），正方体的三对面，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。因此共有=6种不同的涂法。选A.1014．因为顶点坐标为，，又由得所以椭圆的方程为15．因为，所以，即，所以，所以的最小值为6.16．点到面的最大距离为，设矩形的长宽分别为，，则，四棱锥的体积，当且仅当时，．17．解：（1）由---3分由，得即则，即为钝角，故为锐角，且---5分则故．---7分（2）设，由（1）和余弦定理得解得故．---------10分18．（1）由于甲、乙两位选手都进入第三轮比赛，故第一、第二轮淘汰的是另三位选手中的两位选手，………………………4分（2）的所有可能取值为1、2、3、4………………………5分…………………9分随机变量的分布列为123410…………10分………………………12分19．解法一：如图建立空间直角坐标系，（1）由条件知1分由面⊥面ABC，AA1⊥A1C，AA1=A1C，知2分∵……………3分∴与不垂直，即AA1与BC不垂直，∴AA1与平面A1BC不垂直……5分（2）由ACC1A1为平行四边形，知==…7分设平面BB1C1C的法向量，由令，则9分另外，平面ABC的法向量（0，0，1）10分所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为12分10在Rt△EFC中，cos∠所以，侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为12分20．解：（1）函数的定义域为，且由得，由得，函数在递减，在递增，故的极小值为，无极大值；………6分（2）问题等价于，由（1）知的最小值为，设，则，所以在上递增，在上递减，，而-（），所以，从而对必有，即成立。………12分21．解：（1）（ⅰ）由已知可得，10设由，消去可得---8分由抛物线定义可知：9分由消去得，从而---10分∴令，∵则则=，所以=＞8----11分所以四边形PMQN面积的最小值为8----12分10=-=----9分由上-==12①----10分当时，①式=0所以；当时，①式=-12所以当时，又所以即①从而----12分10
