山西省太原市2022届高三年级模拟试题（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的坐标是（B）（A）（B）（C）（D）（2）已知集合，，则（C）（A）（B）（C）（D）（3）已知，，则在方向上的投影为（A）（A）（B）（C）（D）（4）已知公比的等比数列的前n项和为，，，则（D）（A）（B）（C）（D）（5）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（B）（A）（B）（C）（D）（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（D）（A）（B）（C）（D）7/7（7）函数的图象大致为（A）（A）（B）（C）（D）（8）执行下面的程序框图，则输出（B）（A）（B）（C）（D）（9）已知实数，满足条件，则的最小值为（C）（A）（B）（C）（D）（10）将函数的图象向右平移个单位得到的图象，若在和上都单调递减，则实数的取值范围为（A）（A）（B）（C）（D）（11）已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于，两个不同的点，点是的中点，则（为坐标原点）的面积是（D）（A）（B）（C）（D）（12）已知，若函数恰有三个零点，则下列结论正确的是（D）（A）（B）（C）（D）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）（13）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．（14）已知，，则．7/7（15）已知点是的内心，，，则面积的最大值为．（16）已知三棱锥中，，，点是的中点，点在平面射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．【解析】（Ⅰ）当时，，当时，，又符合上式，，．（Ⅱ），①，②，①②得，，（18）（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中；方案；从装有2个红球，1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中．2．抽奖的条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案抽奖一次；满150元，可根据方案抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案抽奖三次或方案抽奖两次或方案、各抽奖一次），已知顾客在该商场购买商品的金额为250元．（Ⅰ）若顾客只选择方案进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；（Ⅱ）若顾客采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（除0元外）．【解析】（Ⅰ）设“获奖金为15元”为时间，则．（Ⅱ）若按方案抽奖两次，则获奖金为15元的概率为，获奖金为30元的概率为，若按方案、抽奖两次，则获奖金为15元的概率为，获奖金为10元的概率为，获奖金为25元的概率为，故最有可能获得的奖金数为15元．7/7（19）（本小题满分12分）如图（1），在平面六边形中，四边形是矩形，且，，，点，分别是，的中点，分别沿直线，将，翻折成如图（2）的空间几何体．（Ⅰ）利用下列结论1或结论2，证明：、、、四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且仅有一个．结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个．（Ⅱ）若二面角和二面角都是，求三棱锥的体积．【解析】（Ⅰ）由题意，点在底面的射影在上，可设为点，同理，点在底面的射影在上，可设为点，则面，面，面面，面面，又面，面，面，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个，则、、、四点共面．（Ⅱ）若二面角和二面角都是，则，易得，则，，．（20）（本小题满分12分）如图，曲线由左半椭圆和圆在轴右侧的部分连接而成，，是与的公共点，点，（均异于点，）分别是，上的动点．（Ⅰ）若的最大值为，求半椭圆的方程；（Ⅱ）若直线过点，且，，求半椭圆的离心率．7/7【解析】（Ⅰ）由已知得：当为半椭圆与轴的左交点，为圆与轴的右交点时，会取得最大值，即，解得，由图像可得，即，故半椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线方程为，，，联立得，故，，，又，且，，故，，，又，且，，，解得，故，代入解得，故．（21）（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）当时，证明：不等式在上恒成立．【解析】（Ⅰ）当时，，，令解得，0极小值故当时，的最小值为．7/7（Ⅱ），，，故存在使得，令，则当时，，故在单调递增，且，是的唯一零点，且在处取得最小值，又即可得，，构造函数：，，二次求导可得，故当时，，即在单调递减，则当时，，可得在单调递减，在单调递减，，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，，且），点，（在轴的下方）是曲线与的两个不同交点．（Ⅰ）求曲线普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）求的最大值及此时点的坐标．【解析】（Ⅰ）由得，平方，相加得：，：．（Ⅱ）将化为参数方程：（为参数），将参数方程代入，得，，，7/7，，且，，，此时点的坐标为．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，，由解得或．（Ⅱ），，且，，令，由题意得，解得，，．7/7
