2022~2022学年度第一学期期中测试数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则集合（）A．B．C．D．2．函数的定义域为（）A．B．C．D．3．要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．5．以下四个命题中，真命题的个数是（）①“若，则，中至少有一个不小于1”的逆命题②，，使得③已知命题：，，则：，④在△中，是的充分不必要条件A．0B．1C．2D．36．若变量，满足约束条件则的最小值为（）A．B．C．D．7．在△中，已知，，，则（）A．B．C．D．7\n8．函数（且）的图象可能为（）9．设函数的定义域为，若任取，存在唯一的满足，则称为函数在上的均值．给出下列五个函数：①；②；③；④；⑤．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）A．①④B．①③C．①④⑤D．①③④⑤10．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若，且为第四象限角，则的值等于．12．计算．13．函数在其极值点处的切线方程为．14．若正实数，满足，则的最小值为．15．设函数若函数有两个零点，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分12分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最值．17．（本题满分12分）7\n已知函数定义域为，对任意实数，都有恒成立，且当时，有．（1）判断函数的单调性；（2）求不等式的解集．18．（本题满分12分）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．（1）求的值；（2）若，求△的面积的值．19．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面如如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．20．（本题满分13分）已知函数，．（1）求关于的不等式的解集；（2）对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．（本题满分14分）已知为实常数，函数．（1）求函数的最值；（2）设，（i）讨论函数的单调性；（ii）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．高三第一学期期中测试数学（文科）参考答案7\n一．ACADCBCDAB二．11．；12．；13．；14．；15．三．16．解：（Ⅰ），所以函数的最小正周期．（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，即函数在上的最大值为；最小值为．17．解：（Ⅰ）令，，则，由，所以．令，，若，，所以，所以，，设，，且，则，因为，所以，则，又，所以，即，即，所以函数在上单调递减.（Ⅱ）因为，所以，又函数在上单调递减，所以，故不等式的解集为．18．解：（Ⅰ）由及正弦定理得，所以，7\n又由，即，得，所以，解得。（也可使用余弦定理）（Ⅱ）由，得，，由，所以，由正弦定理得，因为，所以，又，．19.解：（1）设污水处理池的宽为米，则长为米.则总造价（元），当且仅当，即时取等号.∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.（2）由限制条件知,∴.设.在上是增函数，∴当时(此时),有最小值，即有最小值(元).∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元.20．解：（Ⅰ）由得7\n得，即所以不等式的解集为．（Ⅱ）对任意，要使不等式恒成立只须在上的最小值大于在区间上的最大值即可。当时，有∴即有≤≤所以当时，的最大值为，的最小值为0.又由得令，得∴当时，，当时所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．∴在区间上是减函数，当时，有最小值。所以的最小值为，令得所以实数的取值范围是21.解：（Ⅰ）函数的定义域为.则，令得；令，得；故函数在上单调递增，在上单调递减.所以函数的最大值为，无最小值.（Ⅱ）（ⅰ），函数的定义域为，其导数.①当时，，函数在上是增函数；②当时，；.7\n所以函数在上是增函数，在上是减函数.（ⅱ）由（ⅰ）得，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点；当时，函数在上是增函数，在上是减函数，此时为函数的最大值，若，则函数最多有一个零点，不合题意，所以，解得.因为，，取，则，使得；取，令，则，所以上单调递增.所以，即，则，使得，故函数有两个不同的零点，（），且，.综上的取值范围是.另解：可知函数的定义域为，所以零点的个数等价于的零点的个数，由得，令，，由得；由，得；故函数在上单调递增，在上单调递减.所以函数的最大值为，又时，；时，且所以当时，函数的图象和有两个交点，即函数有两个零点，此时有两个不同的零点，所以的取值范围是.7
