高中二年级期中考试数学试题A卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)1．已知复数z=1﹣i，则=（ ） A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i2．已知=（-2，-3,1），=（2，0,4），=（-4，-6,2），则下列结论正确的是（）A.B.C.D.以上都不对3．盒中装有6个大小不同的小球，其中2个红色的，4个黄色的，从中任取3个，则至少有一个是红色的概率是（）A．16B．1C．D．4．已知二次函数y=ax2+bx+c，且a，b，c∈{0，2，4，6，8}，则不同的二次函数有（ ） A．125个B．100个C．60个D．48个5．f（x）=3x﹣cos2x在（﹣∞，+∞）上（ ） A．是增函数B．是减函数C．有最大值D．有最小值6．若a=∫02x2dx，b=∫02x3dx，c=∫02sinxdx，则a、b、c的大小关系是（ ） A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b7．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则展开式中x3的系数为（ ） A．﹣150B．150C．﹣500D．5008．已知函数f（x）=x2（x﹣a）在区间内是减函数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.9．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7-8-\n23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=（ ） A．10B．11C．12D．1310．2022年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．18种B．36种C．48种D．72种11．给出下面四个类比结论①实数a，b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，，若•=0，则=或=；②实数a，b，有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（+）2=2+2•+2；③向量，有||2=2；类比复数z，有|z|2=z2；④实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2有z12+z22=0，z1=z2=0．其中类比结论正确的命题个数为（ ） A．0B．1C．2D．312．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分．）13． 若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值等于 ___ ．14．的展开式中项的系数是15，则_______．15．函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是________．16．已知则______.三、解答题：（本题共6个小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）-8-\n17．已知z=1+i，a，b为实数．（1）若ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若，求a，b的值．18．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．19．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐法有多少种？(2)此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？(3)所有空位不相邻的坐法有多少种？20.已知四边形是菱形，AB=2，四边形是矩形，平面平面，、O、N分别是、BD、EF的中点.(1)求证：ON⊥平面；ON(2)若平面与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值.-8-\n21．已知递增等差数列{an}满足：a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若不等式（1﹣）•（1﹣）…（1﹣）≤对任意n∈N+，试猜想出实数m的最小值，并证明．22．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R））．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，求实数a的值；（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；（3）若a＜0，且对任意x1，x2∈（0，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4|﹣|，求实数a的取值范围．高中二年级期中考试数学答案A卷（理科）2022年5月一、选择题：ACDBADBCBDBD二、填空题：﹣120-31三、解答题17.解：（1）因为ω=z2+3﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|=-8-\n=；…6分（2）由条件，得，即，∴（a+b）+（a+2）i=1+i，∴，解得．…12分18.解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C．…4分（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．在Rt△AA1C中，AD===，在Rt△BAD中，tan∠ADB==，∴cos∠ADB=，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．…12分19.解：(1)4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位，所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数，∴所有可能的坐法有=360种．…4分(2)4人中甲，乙两人相邻，用捆绑法得到4人中甲，乙两人相邻的坐法有=120种．…8分(3)所有空位不相邻用插空法，先把4人排成一排，有种排法，再往4个人构成的个空中插入两个空座位，有种插入方法，由乘法原理，得所有空位不相邻的坐法有=240种．…12分20.解:（1）四边形是矩形，平面平面，平面----------------------------4分又O、N分别是BD、EF的中点，平面.-8-\n（2）建系设,则-----------------------------------------------------6分设平面的法向量为,所以平面的法向量---------------------------9分,所以-------------------------------10分所以,设直线与平面所成的角为-------------------------------12分21.解：（1）设数列{an}公差为d（d＞0），由题意可知a1•a4=，即1（1+3d）=（1+d）2，解得d=1或d=0（舍去）．所以，an=1+（n﹣1）•1=n．------------------4分（2）不等式等价于••…≤，当n=1时，m≥；当n=2时，m≥；而＞，所以猜想，m的最小值为．------------------6分下面证不等式••…≤对任意n∈N*恒成立．下面用数学归纳法证明．证明：1°当n=1时，≤=，成立．2°假设当n=k时，不等式，••…≤成立，-8-\n当n=k+1时，••…•≤•，只要证•≤，只要证≤，只要证≤2k+2，只要证4k2+8k+3≤4k2+8k+4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n∈N*，不等式••…≤恒成立．------------------12分22.解：（1）∵f'（x）=1﹣，∴f'（1）=1﹣a∴曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为1﹣a∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，∴1﹣a=3，解得a=﹣2------------------2分（2）①充分性当a=1时，f（x）=x﹣1﹣lnx，f'（x）=1﹣=∴当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（x）≥f（1）=0------------------5分②必要性f'（x）=1﹣=，其中x＞0（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数而f（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾∴a≤0不满足题意．（ii）当a＞0时，∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；∴f（x）≥f（a）=a﹣a﹣alna∵f（1）=0，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾∴a=1综上所述，f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；------------------8分（3）由（2）可知，当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=在（0，1]上是减函数不妨设0＜x1≤x2≤1则|f（x1）﹣f（x2）|=f（x2）﹣f（x1），∴|f（x1）﹣f（x2）|≤4|﹣|即f（x2）+4×≤f（x1）+4×设h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+，则|f（x1）﹣f（x2）|≤4|﹣|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数-8-\n因为h'（x）=1﹣﹣=，所以x2﹣ax﹣4≤0在（0，1]上恒成立，即a≥x﹣在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x﹣在（0，1]内的最大值．而函数y=x﹣在（0，1]是增函数，所以y=x﹣的最大值为﹣3所以a≥﹣3，又a＜0，所以a∈[﹣3，0）．------------------14分-8-
