山东省2022届高三高考模拟卷（三）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义，则的子集个数为A．7B．12C．32D．642．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是A．(1，5)B．(1，3)C．D．3．若命题“或”与命题“非”都是真命题，则A．命题不一定是假命题B．命题一定是真命题C．命题不一定是真命题D．命题与命题同真同假4．已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为A．16B．32C．36D．725．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为A．B．C．D．6．执行如右图所示的程序框图，如果输入的是4，则输出的的值是A．8B．5C．3D．27．函数的图象大致为128．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1．其中真命题的个数为A．1B．2C．3D．49．在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数的取值范围是A．B．C．D．10．将“你能HOlD住吗”8个汉字及英文字母填人5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原语，如图所示为一种填法，则共有不同的填法种数是A.35B.15C.20D.7011．过抛物线的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为A．5B．4C．D．12．对任意实数，定义运算，其中为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数，使得对任意实数，都有，则A．2B．3C．4D．512第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．若非零向量满足，，则与的夹角为______．14．已知（是正整数）的展开式中，常数项小于120，则_______．15．若关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围是_______．16．过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的最小值与最大值．18．(本小题满分12分)某学校的一间功能室统一使用某种节能灯管，已知这种灯管的使用寿命(单位：月)服从正态分布，且使用寿命不少于12个月的概率为0．8，使用寿命不少于24个月的概率为0．2．(1)求这种灯管的平均使用寿命；(2)假设一间功能室一次性换上2支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，设需要更换的灯管数为，求的分布列和数学期望．1219．（本小题满分12分）如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB，AC，AG，形成如图乙所示的几何体．(1)求证：BC⊥平面AFG；(2)求二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知常数且，数列的前项和，数列满足且．(1)求证：数列是等比数列；(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数，总存在不小于2的自然数，当时，恒成立，求的最小值．21．（本小题满分13分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS，BS与直线：分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．22．（本小题满分13分）已知函数，的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．(1)求实数的值；(2)求在为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数，曲线12上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？山东省2022届高三高考模拟卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D【解析】集合中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故的子集个数为．2．C【解析】由于复数的实部为，虚部为1，且，故由得．3．B【解析】由题可知“非”是真命题，所以是假命题，又因为“或”是真命题，所以是真命题．故选B．4．D【解析】依题意得．5．B【解析】由三视图可知该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形（如图）．圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高．易知该几何体的体积就是整个圆锥体的体积，即．6．C【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后，，，；第二次进入循环，满足2<4，循环后，1，，；第三次进入循环，满足3<4，循环后，，，12，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出的值为3，选C．7．A【解析】因为，，所以函数为奇函数，排除B，C；又因为当时，，故选择A．8．C【解析】设球的球心O到直线AB、CD的距离分别为，利用勾股定理可求出，，所以CD可以经过M，而AB不会经过N，所以①正确，②不正确；又，，所以③④正确．故选C．9．A【解析】由题意可知，直线过定点．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，所表示的区域是直线及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此的取值范围是．10．A【解析】要把6个汉字及英文字母依次填入6个方格中，按照规则分为两类：一类是4个字横向2个字纵向，有种填法；另一类是3个字横向3个字纵向，有种填法：所以共有种填法．11．B【解析】根据题意设，．由得，故，即．设直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，消元得．故，，，即．又，故．1212．D【解析】由定义可知，，解得，又对任意实数，都有，即恒成立，则，解得或（舍）．第Ⅱ卷13．【解析】由题意得，所以，所以的夹角为．14．1【解析】二项展开式的通项为，令，得，故常数项为，由常数项小于120，即120，得．又是正整数，故．15．【解析】由题意知，不等式恒成立，即函数的最小值大于3，根据不等式的性质可得，故只要即可，所以或，即得的取值范围是．16．【解析】不妨设双曲线的方程为，焦点0)，渐近线，则过点F的直线方程为，与双曲线联立，消去得，由得，即，故12．三、17．【解析】(1)．（4分）因此，函数的最小正周期为．（6分）(2)由题易知在区间上是减函数，在区间上是增函数，（8分）又，，，（10分）所以，函数在区间上的最大值为3，最小值为．（12分）18．【解析】(1)因为，，，所以，显然．（3分）由正态分布密度曲线的对称性可知，，即这种灯管的平均使用寿命是18个月．（6分）(2)这种灯管的使用寿命少于12个月的概率为．由题意知，的可能取值为0，1，2，（8分）则，，．（10分）所以的分布列为所以．（12分）19．【解析】(1)在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，12易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．（2分）在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．（4分）(2)因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，FD，FG两两垂直．以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，所以，0)．（6分）设平面ABE的一个法向量为．则，即，取，则，，则．（8分）显然为平面ADE的一个法向量，所以．（10分）又由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（12分）20．【解析】(1)当时，，整理得．（3分）由，得，则恒有，从而．所以数列为等比数列．（6分）12(2)由(1)知，则，所以，（8分）所以，则在时恒成立．记，由题意知，，解得或．（11分）又，所以．综上可知，的最小值为4．（12分）21．【解析】(1)由题意得，故，（1分）因为，所以，，（3分）所以所求的椭圆方程为．（4分）(2)依题意，直线AS的斜率存在，且，故可设直线AS的方程为，从而，由得．（6分）设，则，得，从而，即，（8分）又由B(2，0)可得直线SB的方程为，化简得，12由得，所以，故，（11分）又因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以时，线段MN的长度取最小值．（13分）22．【解析】(1)当时，，（2分）由题意，得即解得．（4分）(2)由(1)，知（5分）①当时，，由，得；由，得或．所以在和上单调递减，在上单调递增．因为，，，所以在上的最大值为2．②当时，，当时，；当时，在上单调递增．（7分）所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2．（8分）12(3)假设曲线上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在轴两侧，因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以，不妨设，则由△POQ斜边的中点在轴上知，且．所以．（*）是否存在两点P，Q满足题意等价于方程(*)是否有解．若，则，代入方程(*)，得，即，而此方程无实数解；当时，则，代入方程(*)，得，即。（11分）设，则在上恒成立，所以在上单调递增，从而，即的值域为．因为，所以的值域为，所以当时，方程有解，即方程(*)有解．所以对任意给定的正实数，曲线上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上．（13分）12
