四川省眉山一中办学共同体2022-2022学年高二数学上学期期中试题理第I卷（选择题）一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1．下列结论正确的个数为( )A．梯形可以确定一个平面；B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥αD．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．2.平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为( )A.－2B.－8C.0D.－63.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行4．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于( )A．120°B．30°C．60°D．60°或30°5.已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )A.B.C.D.6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )A．(－1,1,1)B．C．(1，－1,1)D．7．下列结论中，正确的是( )A．若直线平行平面，点P∈，则平面内经过点P且与直线平行的直线有且只有一条B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行12\nD．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线8.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )A.B.C.D.9.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直D.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直10．在下列结论中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．311．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥αD．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l12．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°第II卷（非选择题）二、填空题（共20分，每小题5分）12\n13．已知向量，，若，则________.14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．15.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．16.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．三、解答题（共70分）17.（10分）直三棱柱中，AC＝BC＝AA′=2，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证：；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.18.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；19.(12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，12\nAA1＝AC＝CB＝.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.20.（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．(1)求B点到平面PCD的距离；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积.12\n22.（12分）如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．12\n眉山一中办学共同体2022届第三期半期考试题数学（理工类）参考答案一选择题1A.2.C3.D4.B5.C6.B7.A8.B9.D10.A11.D12.C二填空题13.214.15.16.三解答题17题（10分）解：法一：如图建立空间直角坐标系，其各点坐标如图所示（1）证明：（2）异面直线CE与AC′所成角的余弦值为。法二：(1)证明 设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)解 ∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.12\n·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.18题（12分）解：(1)证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)。＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0，所以BE⊥DC.(2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则即不妨令y＝1，[5分]可得n＝(2,1,1)．于是有cos〈n，〉＝＝＝，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.[7分]19题（12分）解：(1)证明 连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，12\n＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2).设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n＝(1，－1，－1).同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m＝(2,1，－2).从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.20题（12分）.解：在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，∴PO⊥AD.又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2.在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，AB⊥AD，∴OC⊥AD.以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1)∴＝(1，－1，－1)．设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，则取z＝1，得u＝(1,1,1)．则B点到平面PCD的距离d＝＝.(2)设＝λ(0≤λ≤1)．∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)，∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．设平面CAQ的法向量为m＝(x，y，z)，则取z＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)．平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，∵二面角Q－AC－D的余弦值为，12\n∴|cos〈m，n〉|＝＝.整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0.解得λ＝或λ＝3(舍去)，∴存在，且＝.21题(12分)解：方法一 (1)证明 如图，连接AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5.[1分]又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.[2分]因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.[4分]而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.[5分](2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.[6分]由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.[7分]由题意得∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形.故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝.[10分]又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.[12分]方法二 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA＝h，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h).[2分](1)证明 易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h).因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，[4分]所以CD⊥AE，CD⊥AP.12\n而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.[5分](2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量.[6分]而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，即＝.[8分]由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，又＝(4,0，－h)，故＝.解得h＝.[10分]又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.[12分]22．（本小题满分12分）解：（1）证明：如图，取BD中点E，连结、，1分因为是等腰直角三角形，所以，2分设，则，3分在中，由余弦定理得：，4分因为，，所以，即，5分又，，所以平面，所以平面平面；6分（2）解法一：过点E在平面内作交于点F，由（I）知平面，分别以为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，7分12\n不妨设，则：，8分则，，，9分设平面的法向量，则，取，10分设平面的法向量，则，取，11分所以，因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为.12分解法二：过点D作DN⊥AC于点N，设D在平面ABC上的射影为M，连接MN，则AC⊥MN，所以∠DNM为所求二面角的平面角，7分设AB=1,则AD=1,BD=CD=，AC=2，BC=,在△ADC中，cos∠DAC=,所以DN=,8分在△ABC中，cos∠BAC=,所以sin∠BAC=,9分由,所以,即,11分在△DMN中，sin∠DNM=,所以cos∠DNM=,12\n所以二面角的余弦值为.12分12
