嘉定区2022学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一、填空题（每小题3分，满分36分）1．若复数满足，则________________．2．直线与的夹角为__________________．3．已知，则=________________．4．双曲线的焦距为__________________________．5．椭圆的两个焦点坐标分别为____________________．6．若点在抛物线的准线上，则实数的值为__________________．7．已知、，且的周长等于，则顶点的轨迹方程为__________________________．8．已知复数满足，则的取值范围为_________________．9．设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，若,则_____________________．10．以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_____________________．11．已知点是双曲线上一点，、是此双曲线的焦点，若，则的面积为_________________．8/8\n12．若椭圆上至少存在一点，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数的取值范围为____________.二、选择题（每小题3分，满分12分）13．使复数为实数的充分而不必要条件为…………………………………………………（）(A)为实数(B)为实数(C)(D)14．以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的方程为…………（）(A)或(B)或(C)或(D)或15．已知点、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值为………………………………………………………………（）(A)(B)(C)(D)16．已知点是双曲线的一个焦点，过点作直线交双曲线于两点、，若，则这样的直线有且仅有………………………………………………………………（）(A)四条(B)三条(C)两条(D)一条三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17．（本题满分8分）已知圆，圆,动圆分别与圆相外切，与圆相内切.··第17题图求动圆圆心所在的曲线的方程.8/8\n18．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分.）已知复数满足，，.（1）若，求的取值范围；（2）若是方程的一个根，求与的值.19．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分．）已知为虚数，且，若为实数.（1）求复数；（2）若的虚部为正数，且（为虚数单位，），求的模的取值范围.第20题图20．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分.）已知抛物线截直线所得的弦长为.（1）求实数的值；（2）试在轴上求一点，使得的面积为.第21题图21．（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题4分.）已知经过点且以为一个方向向量的直线与双曲线相交于不同两点、.（1）求实数的取值范围；（2）若点、均在已知双曲线的右支上，且满足，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使得、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.8/8\n2022学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷参考答案与评分意见一．填空题（每小题3分，满分36分）1．；2．；3．；4．；5.、；6．；7．；8.；9.；10.；11.；12．.二、选择题13．D14．A15．C16．B三、解答题17．解:设，动圆的半径为，则由题意知，于是，即动点到两个定点的距离之和为.……3分又因为,所以点在以两定点为焦点，为长轴长的椭圆上.设此椭圆的标准方程为，这里，………………………………………………6分则.因此动圆圆心所在的曲线方程为.………………………………………8分注：1.若限制，也可以；2.若设，由得，整理并化简得，也可以.18．解:（1）因为，所以，即.……1分于是，，……3分又，则，解得.因此所求的的取值范围为.…………………………………………………5分8/8\n（2）由（1）知，则.所以（）是方程的一个根，则，且（）也是此方程的一个根.………………8分于是解得因此，.…………………………………………………………………………10分19．解：（1）设（、且，为虚数单位）.由得（*）…………………………………………1分又因为为实数，即为实数，即为实数，所以，………………………………………………………………………………2分又，所以.将代入（*）解得.…………………………4分于是或.………………………………………………………………5分（2）若的虚部为正数，则由（1）知，，所以，即，……………………………………………………………………6分所以，即，设，则，它在上单调递减，在上单调递增.所以当，即，即时，；………8分又当，即，即时，，当，即，即时，，所以.因此所求的模的取值范围为.………………………………………………10分20．解：（1）设、.8/8\n联立方程组,消去，整理并化简得.则…………………………………………2分因为，即，即，即④将②、③代入④得，即，……………3分令解得.…………………………………………………4分当时，上述不等式①成立.因此所求实数的值为.………………………………………………………………………5分(2)由（1）知所在的直线方程为.设当点的坐标为时，的面积为.此时点到直线的距离为，即.………………………………7分于是的面积为，………………………………8分令，解得或.所以所求的点的坐标为或.……………………………………………………10分21．解:（1）由已知，直线的方程为.由消去，并整理得.①……2分依题意得解得且且.②因此所求的实数的取值范围为.……………4分（2）设，.因为点、均在已知双曲线的右支上，8/8\n所以（1）中方程①具有两个不同的正实数根，即，于是解得.……………………7分又，即，即，而，所以，即，则，解得.……………………9分又因为，所以.因此所求实数的值为.……………………………………………………10分（3）假设存在实数，使、两点关于直线对称，则直线与相互垂直.因为直线与的一个法向量分别为为、，由题意，向量、也相互垂直，即有，即，解得.(注：由直线与相互垂直得，解得.这样做也行.)……………………………11分所以直线的方程为.联立方程组消去，并整理得.………………12分这里，且，所以，则.设线段的中点为，则.………………………………………………13分由于中点也在直线上，8/8\n因此存在实数，可使、两点关于直线对称.…………………………14分8/8
