2022-2022学年度上学期高三年级第四次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的值为（）A.B.C.D.2.已知平面向量，，且，则=()A.–3B.–1C.1D.33.设是等差数列的前项和，若，则()A．1B．5C．7D．94.函数的定义域为（）A.(,1)B.(,∞)C.（1，+∞）D.(,1)∪（1，+∞）5.设a∈R，则“a＝1”是“函数在定义域上是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）xABPyOA.B.C.D.-12-\n1.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．32.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若；B.若；C.若；D.若；COABD第9题图3.如图，是圆的直径，是圆上的点，，，，则的值为（）A．B．C．D．4.（）A．B．C．D．5.已知等比数列中，，，（其中为虚数单位，，且），则数列的前2022项的和为（）A．B．C．D．6.直线（m为实常数）与曲线E：的两个交点A，B的横坐标分别为，且，曲线E在点A，B处的切线PA，PB与y轴分别交于点M，N，有下面5个结论：①的取值集合为;②△PAB可能为等腰三角形；-12-\n③若直线与轴的交点为Q，则；④当是函数的零点时，（O为坐标原点）取得最小值.其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）1.抛物线的准线方程为_____________2.设数列的通项公式为，则其前5项的和为______3.正方体的棱长为2，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围为______________4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则当取得最大值时，角A的值为______________三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.5.（本小题满分12分）设函数，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）保持函数图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象。在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.6.（本小题满分12分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为-12-\n，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。（Ⅰ）第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；（Ⅱ）第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）第三小组进行实验，到成功了四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率。1.（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足。（Ⅰ）证明：；BAMPNB1CC1A1（Ⅱ）当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为时，试求直线PM与平面ABC所成角的正弦值大小。-12-\n1.（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的右焦点为F(2,0)，过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为（1，)．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为1，试判断直线l是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.2.（本小题满分12分）已知关于的函数，（I）试求函数的单调区间；（II）若在区间内有极值，试求a的取值范围；（III）时，若有唯一的零点，试求.（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）-12-\n请考生在第（22）~（23）二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.1.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心C()，半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈，直线的参数方程为为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．2.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．-12-\n数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）题号123456789101112答案DCBAADDCBCDB二、填空题（每题5分，共20分）13.14.12915.16.三、解答题17.解：（Ⅰ）……………………4分所以函数的最小正周期为………………6分（Ⅱ）由于，故由正弦定理得，由于，所以，又在锐角△ABC中，所以……………8分由（Ⅰ）知，所以，……………10分又因为，所以，从而，所以的取值范围为……………12分18.解（Ⅰ）该小组恰有两次失败的概率……………4分（Ⅱ）由题可知X的取值集合为。……………1分则-12-\n……………6分故其分布列为X024P，即所求数学期望为……………8分（Ⅱ）由题可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有个基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有个基本事件从而由古典概型可得所求概率为……………4分可以根据实际情况适当赋分。如第一问2分，加重第二问的合理赋分。19.解：以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则,M是CC1的中点，N是BC的中点,设平面PMN的一个法向量为，则令，则又平面ABC的一个法向量为，平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为解得，此时-12-\n所以直线PM与平面ABC所成角的正弦值为。20.解：（1）设，则，两式相减得，…………2分MN的中点坐标为（1，)，且M、N、F、Q共线，…………4分椭圆C的方程为…………6分（2）设直线AB:，联立方程得：设则…………8分，…………10分直线AB：，所以直线AB过定点……11分又当直线AB斜率不存在时，设AB：，则-12-\n适合上式，所以直线AB过定点……12分21.解：（I）由题意的定义域为（i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；（ii）若，则由得，时，，时，，所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；-------------4分（II）方法一所以的定义域也为，且令(*)则(**)（1）当时,恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内存在唯一一个零点，由于为上的单调递增函数，所以在区间内，从而在，所以此时在区间内有唯一极值且为极小值，适合题意（2）当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时,无极值.综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为.-------8分-12-\n(III),由（II）且知时,.由(**)式知，。由于，所以，又由于，所以亦即，由从而得所以，从而，又因为有唯一的零点，所以即为,消去a,得时令,则在区间上为单调递增函数,为单调递减函数,且----------------------------------12分-12-\n22..解：（Ⅰ）由得，直角坐标,所以圆的直角坐标方程为,由得，圆的极坐标方程为………………（5分）（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程,得，则,设，对应参数分别为，，则，,，因为，所以所以,所以的取值范围为.………………（10分）23解：（Ⅰ）由得，∴，即，∴，∴。………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，则，∴的最小值为4，故实数的取值范围是。………………（10分）-12-
