21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系人教版数学九年级上册
1.一元二次方程的求根公式是什么？【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.导入新知
素养目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.3.让学生体会从特殊到一般的科学探究过程.
填表，观察、猜想方程x1,x2x1+x2x1.x2x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.根与系数的关系探究新知知识点11,1212,-5-3-10-1,-4-54
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知【猜一猜】
如果关于x的方程的两根是x1,x2,则:如果方程二次项系数不为1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q探究新知
方程x1,x2x1+x2x1.x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.探究新知，1，2-1
一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韦达定理）【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0常数项探究新知一次项系数二次项系数注意系数符号。学生活动：请同学用求根公式证明.
一元二次方程的根与系数的关系的应用例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;解：这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.素养考点1探究新知
（2）2x2-3x-2=0.解：这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.探究新知
不解方程，求方程两根的和与两根的积：①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化为：二次项不是1，可以先把它化为11.巩固练习
例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=－7.答：方程的另一个根是，k=－7.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围素养考点2探究新知想一想，还有没有别的做法？
2.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得x1●2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.巩固练习
例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和素养考点3探究新知
（1）x1+x2=,(2)x1·x2=,(3),(4).411214巩固练习3.设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0即-8k+4≥0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.根与系数关系的综合题目素养考点4探究新知
归纳总结探究新知求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3.∴（）2-4×=1巩固练习4.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2B．1C．2D．0巩固练习连接中考D
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=,q=.1-2-3课堂检测基础巩固题
3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x1,则：1×x1=∴x1=课堂检测基础巩固题
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以则：课堂检测基础巩固题
设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）课堂检测能力提升题
1.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1由根与系数的关系，得课堂检测拓广探索题∵△＞0
2.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.解：(1)方程有实数根∴m的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x1,x2∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1解得m=8.经检验m=8是原方程的解．课堂检测拓广探索题
根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么应用课堂小结
课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
