22.1二次函数的图像和性质22.1.1二次函数人教版数学九年级上册
如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？导入新知
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数.2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.素养目标
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2①二次函数的概念探究新知知识点1问题1
多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,可以作条对角线.n(n-3)多边形的对角线总数d=n(n-3)MN即d=n2-n②②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.探究新知问题2
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件,一年后的产量是件,再经过一年后的产量是件,即两年后的产量为y=20（1+x）220(1+x)20(1+x)2即y=20x2+40x+20③③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.探究新知问题3
函数①②③有什么共同点?y=6x2①d=n2-n②y=20x2+40x+20③探究新知【思考】学生以小组形式讨论，并由每组代表总结。
y=6x2自变量函数函数解析式yydxxn【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！探究新知
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是。整式.a≠0.2任意实数探究新知二次函数的定义
概念一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.二次项系数自变量一次项系数常数项探究新知二次函数的定义
二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)探究新知二次函数的形式当b＝0时，y＝ax2＋c（只含有二次项和常数项）当c＝0时，y＝ax2＋bx（只含有二次项和一次项）当b＝0，c＝0时，y＝ax2（只含有二次项）二次函数的特殊形式:
二次函数的识别例1下列函数中是二次函数的有。二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）√a=0×最高次数是4××√=x2√①⑤⑥素养考点1探究新知
方法点拨运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于0.探究新知
下列函数中,哪些是二次函数？(1)y=3(x-1)²+1(3)s=3-2t²(5)y=(x+3)²-x²(6)v=10πr²（是）（否）（是）（否）（否）（是）(7)y=x²+x³+25(8)y=2²+2x（否）（否）(2)(4)右边不是整式右边不是整式自变量的最高次数是1整理后，自变量的最高次数是1自变量的最高次数是3巩固练习1.
例2关于x的函数是二次函数,求m的值.解:由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0注意二次函数的二次项系数不能为零.利用二次函数的定义求字母的值解得m=2.因此当m=2时，函数为二次函数.素养考点2探究新知
解：根据二次函数的定义，得解得a=-1.巩固练习2.是二次函数，求常数a的值.
根据实际问题确定二次函数解析式根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.知识点2探究新知
例3一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。xmym2xm（40-2x）m解：由题意得：y=x(40-2x)即y=-2x2+40x(0<x<20)当x＝12m时，菜园的面积为y=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）素养考点2建立二次函数的模型素养考点3探究新知方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等。
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.y=πx2y=2(1+x)2S=4πr2做一做:(x>0)(x>0)(r>0)说一说以上二次函数解析式的各项系数。巩固练习3.
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+巩固练习连接中考C
2.已知函数y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1；∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.巩固练习连接中考
1.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为()A.y=ax2+bx+cB.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=22+x+12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m≠0B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠nD.m,n为任何实数CC课堂检测基础巩固题
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s与半径r之间的关系式.4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.S=4πr2m=n(n-1)即m=n2-n课堂检测基础巩固题
解：由二次函数的定义得当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.课堂检测能力提升题∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.解得m=1.
问题导入，列关系式探索二次关系式共同点总结二次函数概念二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式；②未知数最高次数为2；③二次项系数不为0.确定二次函数解析式及自变量的取值范围课堂小结
作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业
