22.2二次函数与一元二次方程人教版数学九年级上册
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5t2．（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能，需要 多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？导入新知
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.素养目标
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：二次函数与一元二次方程的关系探究新知知识点1
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？探究新知
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht20420=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2探究新知解：
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.h=20t-5t2探究新知
（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2解：小球飞出时和落地时的高度均为0m，探究新知
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）探究新知
二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．探究新知
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值解一元二次方程探究新知二次函数与一元二次方程的关系（1）
例1已知二次函数y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程2x2-3x-4=1.反之，解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.二次函数与一元二次方程的关系解之得：x1=-1，x2=2.5素养考点1探究新知
1.二次函数y=x2-3x+2，当x=1时，y=;当y=0时，x=.2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.巩固练习01或2(0,-1)(0.5,0)和（-0.5,0）
利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.探究新知知识点2
二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？无公共点先画出函数图象：公共点的函数值为.0对应一元二次方程的根是多少？x1=-2，x2=1.x1=x2=3.方程无解有两个不等的实根有两个相等的实根没有实数根探究新知
由上述问题，你可以得到什么结论呢？方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.探究新知
有两个不等实根有两个相等实根没有根有两个交点有一个交点没有交点△>0△=0△<0一元二次方程ax2+bx+c=0的根抛物线y=ax2+bx+c与x轴若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则b2–4ac≥0△=b2–4ac探究新知二次函数与一元二次方程的关系（2）
△＞0△=0△＜0oxy△=b2–4acy=ax2+bx+c那么a<0时呢？a＞0探究新知
1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1探究新知
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系探究新知
例2已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．解：(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）（2）令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1,x2=.当m为正整数1或2时，x2的值为整数，因为当m为2时，△=0，抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1.素养考点2探究新知
已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是．巩固练习3.k>-1且k0
例3如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用素养考点3探究新知
解：由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？探究新知
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？解：由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.探究新知
解：由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？探究新知
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.探究新知
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？解：根据题意得-0.5x2+2x+2.5=0，解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)答：水流的落地点D到A的距离是5m.分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离.即y=0.巩固练习3.
求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.利用二次函数求一元二次方程的近似解探究新知知识点3
解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.探究新知求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.探究新知
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.探究新知一元二次方程的图象解法
根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C巩固练习4.
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（ ）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根巩固练习连接中考C
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为()A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1B课堂检测基础巩固题
2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=；-13.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是.(-2，0)(，0)课堂检测基础巩固题
4.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限A课堂检测基础巩固题
5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k<3B．k<3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0D课堂检测基础巩固题
已知函数y＝(k－3)x²＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.课堂检测能力提升题
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？课堂检测拓广探索题(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝﹣(x﹣4)2+4.将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝﹣(7﹣4)2+4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中.课堂检测(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？拓广探索题
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解：将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．课堂检测拓广探索题
判别式△=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集x2x1xyOOx1=x2xyxOy△>0△＝0△＜0x1;x2x1=x2＝－没有实数根x<x1或x>x2x≠x1的任意实数任意实数x1<x<x2无解无解课堂小结
作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业
