1、圆的认识第1课时圆的特征u教学内容：教科书第12页，圆的认识及圆各部分的名称。u教学提示：本节课要求学生进一步认识圆、了解圆的特征、掌握用圆规画圆。渗透了曲线图形和直线图形的关系。通过对圆的认识，不仅能加深对周围事物的了解，提高解决实际问题的能力，也为今后学习圆的周长、面积、圆柱、圆锥等知识打好基础。单元主题图呈现的学生所熟悉的校园及周边环境的情景图，目的是为了让学生从熟悉的生活环境中感受到圆、圆的周长、圆的面积在实际生活中的应用。 一方面要激发学生学习圆的有关知识的欲望，另一方面要让学生体会到本单元知识与现实生活的密切联系。例1呈现有圆的物体，根据它们的共同特征抽象出圆的平面图形。通过圆规的自我介绍，让学生掌握画圆的方法，并归纳出“圆是由曲线围成的一种平面图形”。例2通过操作活动让学生认识圆各部分的名称和特征。发现圆的直径和半径都有无数条，在同一圆里，所有的半径和直径的长度都相等，直径的长度是半径的2倍，圆是轴对称图形等特征。在低年级的学习中，学生已经对圆有了初步的认识。可以在众多所画图形中较为准确地辨认出圆。有一定的研究图形特点的方法积累（如：对长方形和正方形的研究）。这些方法可以为课堂中学生研究圆的特点有一定启发。同时，学生能够体会到圆广泛的存在于我们的生活之中，并能举出生活中圆的例子。但不能很准确地对于生活中圆的例子进行准确性描述。举例说出生活中见到过的圆，学生回答：笔筒、胶条……不能正确认识到这个物体上的某个面是圆形的。但对于让学生做到真正深入认识圆是由之上的若干个点连接而成，以及在学生头脑中充分体会到圆的各点分布均匀性和广泛的对称性还是比较困难的。同时，六年级的学生对圆规都有一定的了解（平时买作图工具时都是成套的，包含圆规），一般都有画圆的经验。u教学目标：1.知识与技能：使学生在观察、操作、画图等活动中感受并发现圆的有关特征，知道什么是圆的圆心、半径和直径，能借助物品或圆规画圆，会应用圆的知识解释一些日常生活现
象。 2.过程能力与方法：使学生经历从猜想到验证的过程，在活动中进一步积累认识图形的学习经验，增强空间观念、合作意识，培养学生观察、动手操作、抽象概括、与他人合作交流等各方面的能力，进一步发展数学思考。 3.情感态度与价值观：使学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。u重点难点：教学重点：感知并了解圆的基本特征，认识圆的各部分名称。教学难点：理解直径与半径的关系，熟练掌握画圆的方法。u教学准备:教具准备：多媒体课件，为学生准备两张白纸、一个圆片。学具准备：圆规、圆形物体、直尺。u教学过程：（一）新课导入（欣赏单元主题图，激趣引入。）1.观察主题图。提问：同学们，在我们美丽的学校内有一个水池，你们观察过吗？池内的鱼儿美丽，水面平静。请同学们想象一下：如果我们在平静的水面上投进一块石子后，水面荡开的波纹，应该是一个近似的什么形状？请用动作说明。圆在生活中太常见了！许多物体表面的形状与圆有关。根据你们的经验，能举个例子吗？2.揭题：看来同学们对圆已经有了一些认识，今天这节课就学习“圆”。3.在以前的学习中，已经认识了哪些平面图形？其实圆也和学过的这些图形一样也是一个平面图形，但是和这些图形又有不同之处，你发现了吗？(圆是由曲线围成的一种平面图形)(注意：①学生自带的圆形物体可以让学生用手指一指；②在指物体时，要明确指的是哪一个面；③不能把球误认为圆。)【设计意图：一方面让学生感知圆来源于生活，与生活实际紧密相连，体验数学与生活的联系；另一方面通过观察、比较，让学生感受圆和以前学过的平面图形的不同。】（二）探究新知1.圆规画圆。（投影展示例1图中圆形物品）
教师：同学们观察图中的物品，它们是什么形状？预设：（生：圆形。）教师：古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯认为“一切平面图形中最完美的是圆！”。你能用手中的工具画一个标准的圆吗？(指向明确用工具画圆，并请学生尝试画圆)学生独立用画圆，教师巡视指导。投影展示学生画的圆。（由于是第一次画圆，学生画的可能不规范）教师可以提问，请你介绍一下你用的是什么工具，是怎么画圆的？学生回答用圆规画圆。此时教师可演示怎样使用圆规正确的画圆。(强调不能用手握住圆规的两脚来画圆)然后跟着要求同学们用圆规再画一个标准的圆。学生独立画完之后，投影展示学生画的圆，指明学生说画法。预设：我用圆规画圆，我把圆规的一个脚固定在一个点上，另一个脚绕这个点旋转1圈，就画出了一个圆。【设计意图：让学生尝试用圆规画圆，体会用圆规画圆的步骤，明白到圆的大小与圆规两脚间的距离有关，用圆规画圆很方便。】2.认识圆。（1）提问：观察对比上面所画的两个圆，是不是一样的？(预设：不一样)哪些地方不一样？(预设：大小、位置)请同学们思考为什么不一样呢？圆的位置不一样，是因为固定点的位置不同，其实，我们把在圆中心的这一固定点叫做圆心。画圆时，固定的点叫做圆心，圆心一般用字母O表示。圆心到圆上任一点的线段是半径，一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在与圆上的线段是直径，一般用字母d表示。如下图：
【设计意图：结合学生圆规画圆的体会，介绍圆心、半径，明确画圆时圆规两脚间的距离就是圆的半径。这样学生初步感知圆心、半径和直径的含义。】（2）强化认识半径。教师：刚才同学们画的圆都比较好，我们还认识了半径？那现在大家就在你刚才画的圆中画出这个圆的半径来，画得越多越好。教师可以提问：想一想，圆有多少条半径？能画完吗？预设：在圆内有无数条半径，画不完。提问：你是怎样观察得出在一个圆内有无数条半径的？预设：因为半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，这样的线段有无数条。教师：那么半径是一条怎样的线段呀？是连接圆心到圆上任意一点的线段。(展示动画从圆心到圆上的一条线段，齐读)由于圆周上有无数个点，所以半径就有无数条。教师：现在就请同学们画出这无数条半径的代表，你认为画几条合适。（预设：1条，因为所有半径都相等。）质疑，请学生说理由：直尺量；或用圆纸对折。说明半径的特征并板书：在同一圆内，半径有无数条，并且长度都相等。【设计意图：让学生掌握通过动手折一折、量一量、比一比、画一画，及在小组里相互交流、讨论，获得圆的特征之一。不仅使学生的认识由感性上升到理性，而且使学生学到了解决数学问题的一些基本方法。】（3）强化认识圆的直径。①除了半径以外，在圆中还有没有像这样比较特殊的线段能决定圆的大小。(预设：直径)教师：指明学生到黑板上画出来，并提问画时要注意什么？(预设：过圆心，两端在圆上)其实直径就是通过圆心并且两端都在圆上的线段。②请学生在自己画的圆内画出直径的代表。画得越多越好。③揭示直径的特征：在同一圆内，直径有无数条，并且长度都相等。
④引出半径和直径的关系，或动手验证；直尺量；或用圆纸对折。通过对折等活动，得出：圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴。【设计意图：让学生掌握通过动手折一折、量一量、比一比、画一画，及在小组里相互交流、讨论，获得圆的特征之一。不仅使学生的认识由感性上升到理性，而且使学生学到了解决数学问题的一些基本方法。】（4）揭示半径和直径的关系。d=2r,r=d。这个关系的前提是什么？(预设：同一圆内)为什么要加这个前提，不要行吗？学生讨论后汇报。师生共同小结：在同圆或等圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等；直径等于半径的2倍。（三）巩固新知1.练习三第1题：用彩色笔标出下面各圆的半径和直径，并量出长度。2.完成第13页课堂活动第1题。第1题（1）：画几个圆心在同一点而半径不相等的圆；画几个圆心不在同一点而半径相等的圆。画完第一问之后，教师可提问：圆心在同一点上，为什么有的圆大，有的圆小？（预设：因为半径不一样，半径越大，圆就越大）由此得出：圆的大小是由半径决定的。第2问画完后，教师可以提问：这几个圆的大小是一样的，为什么有的圆在这里，有的圆在那里呢？(预设：因为圆心的位置不一样)由此得出：圆的位置是由圆心决定的。第1题（2）：学生独立画半径为2.5厘米的圆，用字母标出圆心、半径和直径，小组内交流。3.独立完成教材13页课堂活动第2题，小组内交流。【设计意图：通过本环节，让学生对圆的特征进一步理解，对于圆的特征更加熟悉，对所学知识掌握地更加牢固。】（四）达标反馈1.说一说圆中什么样的线段是半径、什么样的线段是直径? 2.判断题。 （1）所有的半径都相等，所有的直径也都相等。（）
（2）从圆心到圆上的任意一点的距离都相等。（） （3）画一个直径为4厘米的圆，圆规两脚间的距离应是4厘米。（） （4）直径是3厘米的圆比半径是2厘米的圆大。（） 3.填一填。 （1）一个边长8厘米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )厘米，半径是（）厘米。 （2）在一个长6分米、宽4分米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径是（）分米。 4.盒子里刚好放下三个罐头，每个罐头的半径为3厘米，盒子的长和宽各是多少?答案：1.圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。2.（1）×（2）√（3）×（4）×3.（1）84（2）2 4.长18厘米宽6厘米（五）课堂小结教师：通过这节课的学习，你对圆有哪些认识？你有什么收获? 学生谈自己的收获，畅所欲言。 教师：想一想生活中的一些物品为什么要设计成圆形?车轮为什么要设计成圆形?下节课我们一起来交流。【设计意图：通过回顾总结，对知识进行梳理，有助于学生逐步形成数学学习方法和经验；同时把“圆”再次回归生活，将数学与生活紧密结合，让学生体会到数学学习的价值，深化学生对圆的特征的认识，增强数学学习的兴趣。不仅拓宽了学生的知识面，强调数学与生活有密不可分的联系。更是把学生的数学思维引向生活。】 （六）布置作业1.填一填。（1）圆中心的一点叫做（），用字母（）表示，它到圆上任意一点的距离都（）。
（2）（）叫做半径，用字母（）表示。（3）（）叫做直径，用字母（）表示。（4）在一个圆里，有（）条半径、有（）条直径。（5）（）确定圆的位置，（）确定圆的大小。（6）在一个直径是8分米的圆里，半径是（）厘米。2.判断题。（1）直径都是半径的2倍。（）（2）同一个圆中，半径都相等。（）（3）在连接圆上任意两点的线段中，直径最长。（）（4）画一个半径是3厘米的圆，圆规两脚应叉开3厘米。（）3.填表。4.按要求画圆。（1）半径是2厘米。（2）直径是3厘米。答案：1.（1）圆心O相等（2）圆心到圆上任意一点的线段r（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段d（4）无数无数（5）圆心半径（6）402.（1）×（2）√（3）√（4）√
3.如下表：4.如下图：u板书设计圆的特征半径---相等、无数条----决定圆的大小在同一个圆直径----相等、无数条---通过圆心或等圆中d=2rr=d圆心----决定圆的位置圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴u教学资料包（一）教学精彩片段圆的特征(教学片断)探究新知探究圆的特征。 谈话：刚才我们知道了圆的各部分名称，我们以前学习平面图形时都要研究图形的特征，那么圆又有些什么特征呢? 谈话：利用手中的圆片、直尺、圆规等工具，动手折一折、量一量、比一比、画一画，并在小组里讨论交流一下。 提示问题： ①在同一个圆里可以画多少条半径，多少条直径?
②在同一圆里，半径的长度都相等吗?直径呢? ③同一个圆里的半径和直径有什么关系? ④圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴? 提问：谁愿意把自己的发现和大家分享一下?你能说说你是怎样发现的吗?还有什么新的发现?谁能解释一下前三个问题为什么要强调“在同一个圆里”? 谈话：你能用字母表示半径和直径之间的关系吗?(板书：d=2r) 小结：通过刚才的讨论，我们掌握了圆的特征，谁来总结一下圆有哪些特征?【评析：这一环节，教师让学生掌握通过动手折一折、量一量、比一比、画一画，及在小组里相互交流、讨论，获得圆的特征，不仅使学生的认识由感性上升到理性，而且使学生学到了解决数学问题的一些基本方法。】（二）数学资源1.填空题（1）时钟的分针转动一周形成的图形是（）。（2）从（）到（）任意一点的线段叫半径。（3）通过（）并且（）都在（）的线段叫做直径。（4）在同一个圆里，所有的半径（），所有的（）也都相等，直径等于半径的（）。（5）用圆规画一个直径20厘米的圆，圆规两脚步间的距离是（）厘米。（6）圆心决定了圆的（），半径或直径决定了圆的（）。2.判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）圆中过圆心的线段叫做直径。（）（2）所有的直径都相等。（）（3）两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等。（）（4）经过一个点可以画无数个圆。（）（5）半径是射线，直径是线段。（）（6）2个半圆可以拼成一个整圆。（）（7）两端都在圆上线段就是直径。（）3.完成下面的表格。
4.按要求画圆。（1）半径是1.5厘米。（1）直径是5厘米。（3）在边长4厘米的正方形中画一个面积最大的圆。答案：1.（1）圆（2）圆心圆上（3）圆心两端圆上（4）相等直径2倍（5）10（6）位置大小2.（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×（6）×（7）×3.如下表：4.如下图：（3）在边长4厘米的正方形中画一个面积最大的圆。
资料链接毕达哥拉斯人物简介毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580~约前500)古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。后来因为向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国--巴比伦和印度，以及埃及(有争议)，吸收了阿拉伯文明和印度文明(公元前480年)的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，后来和他的信徒们组成了一个所谓「毕达哥拉斯学派」的政治和宗教团体。毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点;因为他容许妇女(当然是贵族妇女而不是奴隶女婢)来听课。他认为妇女也是和男人一样有求知的权利，因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所没有的现象。传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议:如果这人能学懂一个定理，那么就给他一块钱币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议:如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城里，在一场城市暴动中，他被人暗杀掉。他的坟墓现仍在意大利的这个古山城中，这坟墓就像中国的馒头式坟。二千多年过去了，这坟还保留下来，可见人们对这学者的重视。人物生平公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛）——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一，此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远
领先于希腊本土的各个城邦。毕达哥拉斯的父亲是一个富商，九岁时被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习，在这里他接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯等地，拜访了数学家、天文学家、泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为了他们的学生。在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。公元前550年，30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人服装，蓄上头发从而引起当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见，认为他标新立异，鼓吹邪说。毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一神庙中静修。抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字和埃及神话历史和宗教，并宣传希腊哲学，受到许多希腊人尊敬，有不少人投到他的门下求学。毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，但是没有达到他预期的成效。公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，他与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛，后来定居在克罗托内。在那里他广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体。他的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了。毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立了一个秘密结社，这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想，他们吃着简单的食物，进行着严格的训练。学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从。他们开始在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响，也因此引起了敌对派的嫉恨。
后来他们受到民主运动的冲击，社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前500年去世，享年80岁。许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯重新建立据点，另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动，直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。主要思想毕达哥拉斯的哲学思想受到俄耳甫斯的影响，具有一些神秘主义因素。从他开始，希腊哲学开始产生了数学的传统。毕氏曾用数学研究乐律，而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。在宇宙论方面，毕达哥拉斯结合了米利都学派以及自己有关数的理论。他认为存在着许多但有限个世界，并坚持大地是圆形的，不过则抛弃了米利都学派的地心说。毕达哥拉斯对数学的研究还产生了后来的理念论和共相论。即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别，可理喻的东西是完美的、永恒的，而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大，并从此一直支配着哲学及神学思想。他还坚持数学论证必须从“假设”出发，开创演绎逻辑思想，对数学发展影响很大。个人轶事毕达哥拉斯自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。毕达哥拉斯在Croton建立了“学术帮派”兄弟会（也允许女性参加；足见毕氏没有性别歧视），后来因志同道合而娶了Milo美丽的女儿Theano（是典型的希腊美女──白皙的皮肤，挺直的鼻梁及高挑的身材），之后，毕氏继续领导这个神秘的组织致力于数理及哲学的探讨，当时外界对兄弟会的研究完全不了解。有一次毕达哥拉斯和Leon王子应邀出席参观一场盛大的竞技比赛，Leon和毕达哥拉斯无所不谈，Leon就问毕达哥拉斯：“能否谈谈你是怎样的一个人？”，毕达哥拉斯简单的回答Leon说：“我是哲学家（philosopher）”，王子之前从未听过这个字眼，就向大师请益，毕达哥拉斯说：“就好像今天来参加盛会的人，有一些是沽名钓誉者，有些是为奖赏而拼死拼活的，而我呢？我来这里就只是为了‘观察’和‘理解’这里的一切，而‘观察’和‘理解’就是哲学。” 毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方
形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。 毕达哥拉斯逃离Samos岛之后，前往意大利的Croton（当时仍属于希腊版图）并结识了当地最有权势的人──Milo。毕达哥拉斯的哲理思想在当时是能影响全希腊的知识界，但Milo的声望比毕氏更高，他除了有着像力神Hercules般的体形之外，同时也是奥林匹克竞技十项全能，也同时是哲学及数学的爱好者；干材遇烈火也是慧眼识英雄，于是Milo提供财力及房舍给毕达哥拉斯办“学校”，他俩就成了最好的伙伴。毕达哥拉斯成立了“学校”──毕达哥拉斯兄弟会，这个组织立刻吸引了600位会员，这是历史上很特殊的知识帮派，会员必须贡献他所有的财产给组织；毕达哥拉斯为了显示兄弟会的“组织性”，他规定入会的兄弟要发毒誓，不准泄露组织的任何数学发现…… 在那个一切归美于神的年代里，Pythagoras所创立的“兄弟会”，其实就是一个宗教性团体，只是说这些教徒所信奉的偶像是“数”，毕达哥拉斯相信神用“数”创造了宇宙万物，而能透过对数的研究就能更了解宇宙的奥密也就更能接近神，这是毕达哥拉斯的信仰也是他所创兄弟会的教义。此外，信徒被迫发毒誓不得泄露组织内的活动以及他们所研究的成果，毕达哥拉斯之所以如此定“组织章程”，其实并不难理解，就类似现在的休闲中心采用会员制，一方面是便于管理、提升素质，另一方面也是维护会员的权益；兄弟会会员入会必须要将他所有财产贡献给组织，会员的义务是这么大，所以当然，相对的，成员的权益（数学新知）也不能让外人分享。由于组织的神秘色彩，在当时是吸引了无数人才进入兄弟会。
