2.2.2对数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题师：如2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t=logP估算出土文物或古遗址的年代.师：你能据此得到此类函数的一般式吗？生：y=logax.师：,根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t=logP，都有唯一确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数.这样就得到了我们生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的知识.由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．概念形成对数函数概念一般地，函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是（0，+∞），值域是R.探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．（2）为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.生答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞0，所以．掌握对数函数概念概念深化1.对数函数的图象.借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系.（1）y=2x，y=log2x；师：用多媒体演示函数图象，揭示函数y=2x，y=log2x图象间的关系及函数,（2）y=（）x，y=logx.2.当a＞0，a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系？对数函数图象有以下特征图象的特征（1）图象都在轴的右边（2）函数图象都经过（1，0）点（3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降.（4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0.对数函数有以下性质0＜a＜1a＞1图象y=（）x，y=logx图象间的关系.学生讨论总结如下结论.（1）函数y=2x和y=log2x的图象关于直线y=x对称；（2）函数y=（）x和y=logx的图象也关于直线y=x对称.一般地，函数y=ax和y=logax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称.师生共同分析所画的两组函数的图象，总结归纳对数函数图象的特征，进一步推出对数函数性质.由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．掌握对数函数图象特征，以及性质.,定义域（0，+∞）值域R性质（1）过定点（1，0），即x=1时，y=0（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数应用举例例1求下列函数的定义域：（1）y=logax2；（2）y=loga（a＞0，a≠1）.例2求证：函数f（x）=lg是奇函数.例1分析：求函数定义域时应从哪些方面来考虑？学生回答：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义.④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.（师生共同完成该题解答，师规范板书）解：（1）由x2＞0，得x≠0.∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.（2）由题意可得＞0，又∵偶次根号下非负，∴x－1＞0，即x＞1.∴函数y=loga（a＞0，a≠1）的定义域是{x|x＞1}.小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例2分析：根据函数奇偶性的定义来证明.掌握对数函数知识的应用.,例3溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］=10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.课堂练习课本第85页练习1，2.证明：设f（x）=lg，由＞0，得x∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），又对于定义域（－1，1）内的任意的x，都有f（－x）=lg=－lg=－f（x），所以函数y=lg是奇函数.注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.例3解：根据对数的运算性质，有pH=－lg［H+］=lg［H+］－1=lg.在（0，+∞）上，随着［H+］的增大，减小，相应地，lg也减小，即pH减小.所以，随着［H+］的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.（2）当［H+］=10－7时，pH=－lg10－7，所以纯净水的pH是7.,事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在5.0～7.0之间.课堂练习答案1.函数y=log3x及y=logx的图象如图所示.相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升的，y=logx的图象是下降的.关系：y=log3x和y=logx的图象关于x轴对称.2.（1）（－∞，1）；（2）（0，1）∪（1，+∞）；（3）（－∞，）；（4）［1，+∞）.归纳总结1.对数函数的定义.2.对数函数的图象和性质.学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.课后作业：2.2第四课时习案学生独立完成巩固新知,作业提升能力备选例题例1求函数的定义域.【解析】由，得.∴所求函数定义域为{x|–1＜x＜0或0＜x＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2求函数y=log2|x|的定义域，并画出它的图象.【解析】函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}.函数解析式可化为y=，其图象如图所示（其特征是关于y轴对称）.012xy–2······–1
