第二十四章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是( )A．25°B．35°C．15°D．20°(第1题) (第2题) (第4题) (第5题)2．如图，⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( )A．65°B．75°C．50°D．55°3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设( )A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )A.B．2C．6D．85．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A，C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是( )A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( )A．OC∥BDB．AD⊥OCC．△CEF≌△BEDD．AF＝FD(第6题) (第8题) (第9题) (第10题)11
7．若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为( )A．60πB．65πC．78πD．120π8．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径为60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )A．40cmB．50cmC．60cmD．80cm9．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A．4B．6.25C．7.5D．910．如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是( )A．3B.C.D．4二、填空题(每题3分，共24分)11．已知圆的半径是2，则该圆的内接正方形的面积是________．12．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是________．(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为________(结果保留π)．14．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CDA＝________.15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝________．11
(第15题) (第17题) (第18题)16．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD的长为半径的圆，那么点B在⊙P________，点C在⊙P________.(填“内”或“外”)17．如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2.若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为________．18．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积为________(结果用含π的式子表示)．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．20.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于H.若OH＝2，AB＝12，BO＝13.求：(1)⊙O的半径；(2)AC的长．11
21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.(1)求证：∠BAD＝∠CBD；(2)若∠AEB＝125°，求的长(结果保留π)．22．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为优弧AB上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.若AB＝AD，求∠EAC的大小．11
23．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC.(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)当∠D＝30°时，求阴影部分的面积．24．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A(0，2)和点B(2，0)．(1)求线段AB的长及∠ABO的大小．(2)在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，求∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．11
25．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，－)，点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标． 11
答案一、1.A 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C7．B 8.A9．A 【点拨】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2＋CA2＝BC2.∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.∵AB，AC与⊙O分别相切于点F，E，∴OF⊥AB，OE⊥AC.易知四边形OFAE为正方形．设OE＝r，则AE＝AF＝r.∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴BD＝BF＝5－r，CD＝CE＝12－r.∴5－r＋12－r＝13.∴r＝＝2.∴阴影部分(即四边形AEOF)的面积是2×2＝4.10．C 【点拨】如图，连接BP.当y＝0时，x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4，则A(－4，0)，B(4，0)．∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线．∴OQ＝BP.当BP最大时，OQ最大，即BP过圆心C时，BP最大．如图，点P运动到P′位置时，BP最大．∵BC＝＝5，11
∴BP′＝5＋2＝7.∴线段OQ的最大值是.二、11.16 12. 13. 14.125°15．6 16.内；外 17.3 18.π－1三、19.解：(1)如图所示．(2)BC与⊙P相切．证明如下：如图，过P点作PD⊥BC，垂足为D.∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.∵PA为⊙P的半径，∴PD为⊙P的半径．∴BC与⊙P相切．20．解：(1)连接OA.∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB.在Rt△AOB中，AO＝＝＝5,∴⊙O的半径为5.(2)∵OH⊥AC，∴在Rt△AOH中，AH＝＝＝.∴AC＝2AH＝2.21．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.(2)解：连接OD.∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∴∠CAE＝35°.∴∠DAB＝35°.11
则所对圆心角∠DOB＝70°.∴的长为＝π.22．解：(1)连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°.∴∠ACB＝∠AOB＝50°.(2)连接CE.∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°.∴∠BAE＝∠BCE＝40°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°.∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝20°.23．(1)证明：连接OC，BC，OE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°，∵在Rt△BCD中，点E是BD的中点，∴CE＝BE.又∵OB＝OC，OE＝OE，∴△OBE≌△OCE.∴∠OBE＝∠OCE.∵BD是⊙O的切线，∴∠OBE＝∠OCE＝90°.∴EC是⊙O的切线．(2)解：∵∠D＝30°，∠OBD＝90°，∴∠A＝60°.∴∠BOC＝120°.∴∠BOE＝60°.11
∴∠OEB＝30°.∵AB＝4，∴OB＝2.∴OE＝4.∴BE＝6.∴S阴影＝2××6×2－＝12－4π.24．解：(1)∵A(0，2)，B(2，0)，∴OA＝2，OB＝2.在Rt△AOB中，AB＝＝＝4.如图，连接OC.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径，C为AB的中点．∴AC＝OC＝AB＝2＝OA.∴△AOC是等边三角形．∴∠BAO＝60°.∴∠ABO＝30°.(2)存在．如图，作OB的垂直平分线MN，交⊙C于点M，N，交OB于点D，连接OM，BM，ON，BN.易得MN必过点C，即MN是⊙C的直径．∵MN垂直平分OB，∴△OBM，△OBN都是等腰三角形．∴M，N点均符合P点的要求．∵MN是⊙C的直径，∴∠MON＝90°.∵∠BMO＝∠BAO＝60°，∴△OBM是等边三角形．∴∠BOM＝60°.11
∴∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－60°＝30°.故存在符合条件的P点，∠BOP的度数为60°或30°.25．(1)解：∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙O的直径．∵A(，0)，B(0，－)，∴OA＝，OB＝.∴AB＝＝2.∴⊙M的半径为.(2)证明：∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CBO.∴BD平分∠ABO.(3)解：∵AB为⊙M的直径，∴过点A作直线l⊥AB，直线l与BD的延长线的交点即是所求的点E，此时直线AE必为⊙M的切线(如图)．易求得OC＝，∠ECA＝∠EAC＝60°，∴△ECA为边长等于的正三角形．设点E的坐标为(x，y)，易得x＝＋×＝，y＝×＝，∴点E的坐标为.11
