第二十八章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1．下列命题为真命题的是( )A．两点确定一个圆B．度数相等的弧相等C．垂直于弦的直径平分弦D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．根据下列条件，可以确定圆的是( )A．已知圆心B．已知半径长C．已知不在同一直线上的三点D．已知直径长3．如图，在⊙O中，弦的条数是( )A．2B．3C．4D．以上均不正确4．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是( )A．24°B．28°C．33°D．48°17
5．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( )A．1B.C.D．26．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8B．4C．10D．57．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为( )A．4B．5C．8D．1017
8．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是( )A.B．4C.D.9．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC，BD.下列结论中不一定正确的是( )A．AE＝BEB.＝C．OE＝DED．∠DBC＝90°10．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为( )A．2B．4C.D．211．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为( )A.B.17
C.D．π12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是( )A．25πB．65πC．90πD．130π13．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝( )A．5B．6C．7D．817
14．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )A．2cmB.cmC．2cmD．2cm15．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片中剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A．6cmB．3cmC．8cmD．5cm16．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于( )A.B.C．4D．3二、填空题(每题3分，共9分)17．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是________．17
18．如图，AD为⊙O的直径，AD＝6cm，∠DAC＝∠ABC，则AC＝________．19．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是(1，)，则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为________．17
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)20．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．21．已知扇形的半径R＝30cm，面积S＝300πcm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥(无底，忽略接头部分)，则这个圆锥的高是多少？22．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠17
CAP.23．如图所示，在⊙O中，＝，弦CD与弦AB交于点F，连接BC.(1)求证：AC2＝AB·AF；(2)若⊙O的半径为2cm，∠ABC＝60°，求图中阴影部分的面积．24．如图，一座拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB17
＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，顶部截面为长方形且高出水面9米的轮船要经过这座拱形公路桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，cosC＝.(1)动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)综合应用：在你所作的图中，①求证：＝；②求点D到BC的距离．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，半径长为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC17
相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P，连接AP.(1)当∠B＝30°时，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；(2)若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值；(3)若tan∠BPD＝，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数表达式．17
答案一、1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.D7．C 8.D 9.C 10.D 11.B 12.C13．B 14.C15．B 点拨：∵留下的扇形的弧长为×2π×9＝12π(cm)．∴围成圆锥的底面圆半径r＝＝6(cm)．又∵圆锥母线长l＝9cm，∴圆锥的高h＝＝＝3(cm)．16．D 点拨：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∴可将△ABC绕点A旋转，让AC和AD重合，则AB和AE在一条直线上，如图所示．∵BE为直径，∴∠BDE＝90°.作AF⊥DE，垂足为F，AG⊥BD，垂足为G，则四边形AFDG为矩形，∴AG＝DF＝DE＝3.∴弦BC的弦心距等于3.二、17.100° 18.3cm19. 点拨：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，∵点O′的坐标是(1，)，∴O′M＝，OM＝1.∵AO＝2，∴AM＝2－1＝1.∴tan∠O′AM＝＝.∴∠O′AM＝60°.即旋转角为60°.17
∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°.∵把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O′AC′，∴S△OAC＝S△O′AC′.∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′＋S△O′AC′－S△OAC－S扇形CAC′＝S扇形OAO′－S扇形CAC′＝－＝.三、20.解：(1)∵OD⊥AB，∴＝.∴∠DEB＝∠AOD＝26°.(2)在Rt△AOC中，OC＝3，OA＝5，由勾股定理得AC＝4.∵OD⊥AB，∴AB＝2AC＝8.21．解：(1)∵扇形的半径R＝30cm，面积S＝300πcm2，∴扇形的弧长l＝＝＝20π(cm)．(2)设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意，得2πr＝20π，∴r＝10.∴圆锥的高为＝20(cm)．22．证明：连接BM.∵AP⊥BC于P，∴∠CAP＝90°－∠C.∵AM为⊙O的直径，∴∠ABM＝90°，∴∠BAM＝90°－∠M.又∵∠M＝∠C，∴∠BAM＝∠CAP.23．(1)证明：∵＝，∴∠ACD＝∠B.又∵∠BAC＝∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴＝，即AC2＝AB·AF.(2)解：如图所示，连接OA，OC，过点O作OE⊥AC，垂足为点E.17
∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°.又∵OA＝OC，OE⊥AC，∴∠AOE＝∠COE＝60°，∴∠OAE＝30°.∵在Rt△AOE中，OA＝2cm，∴OE＝1cm，∴AE＝＝cm，∴AC＝2AE＝2cm，∴S阴影＝S扇形AOC－S△OAC＝－×2×1＝－(cm2)．24．解：(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交于点C，连接AE，则CF＝20米．由垂径定理知，F是AB的中点，∴AF＝FB＝AB＝40米．设圆的半径是r米，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴桥拱的半径为50米．17
(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：如图，设MN＝60米，MN∥AB，连接EM，设EC与MN的交点为D.∵EF⊥AB，∴EF⊥MN.∴MD＝30米．∴DE＝＝＝40(米)．∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(米)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(米)．∵10米>9米，∴这艘轮船能顺利通过．25．(1)解：如图①所示．(2)①证明：如图②，连接AE.∵AC为直径，∴∠AEC＝90°.又∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE，∴＝.②解：如图②，连接CD，过点D作DF⊥BC于点F.∵AB＝AC＝4，cos∠ACB＝，∴CE＝AC·cos∠ACB＝4.∵AB＝AC，AE⊥BC，17
∴BC＝2CE＝8，AE＝＝＝8.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴S△ABC＝AB·CD.又∠AEC＝90°，∴S△ABC＝AE·BC，∴AB·CD＝AE·BC.可得CD＝，∴AD＝＝，∴BD＝AB－AD＝.∵S△DBC＝BD·CD，S△DBC＝DF·BC，∴BD·CD＝DF·BC，可得DF＝，∴点D到BC的距离为.26．解：(1)∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°.又AD＝AE，∴∠AED＝60°＝∠PEC，∴∠EPC＝30°＝∠B，∴△BPD为等腰三角形．又∵△AEP与△BDP相似，∴∠B＝∠BPD＝∠EAP＝∠APE＝30°，∴EP＝AE＝1，∴CE＝PE＝×1＝.(2)过A作AF⊥DE交BC于F，过F作FM⊥AB于M(如图所示)．17
易知∠FAC＝∠BPD，∵AF⊥DE，AD＝AE，∴∠FAC＝∠FAM，∵FM⊥AB，FC⊥AC，∴FM＝FC，∴Rt△AFM≌Rt△AFC，∴AC＝AM.在Rt△ABC中，设BC＝BD＝m，则AB＝m＋1，AC＝CE＋AE＝2＋1＝3，由AC2＋BC2＝AB2，解得m＝4.∴AB＝5.又AM＝3，∴BM＝2.又tanB＝＝，tanB＝＝，∴＝，∴MF＝FC＝，∴tan∠FAC＝＝＝，即tan∠BPD＝.(3)∵CE＝x，AE＝1，∴AC＝x＋1.∵∠FAC＝∠FAB＝∠BPD，17
又tan∠BPD＝，∴tan∠CAF＝＝＝，∴CF＝(x＋1)＝MF.∵∠B＝∠B，∠FMB＝∠ACB＝90°，∴△BFM∽△BAC，∴＝＝＝，∴BM＝BC，设BM＝a，则BC＝3a，在Rt△BMF中，由BM2＋MF2＝BF2，有a2＋(x＋1)2＝，即a2＋(x＋1)2＝9a2－2a(x＋1)＋(x＋1)2，∵a>0，∴a＝(x＋1)，∴BC＝3a＝(x＋1)．∴AB＝AM＋BM＝x＋1＋(x＋1)＝(x＋1)，∴y＝AB＋AC＋BC＝(x＋1)＋(x＋1)＋(x＋1)＝3(x＋1)，即y＝3x＋3，其中x＞0.17
