第二十五章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1．下列长度的各组线段成比例的是( )A．4cm，2cm，1cm，3cmB．1cm，2cm，3cm，5cmC．3cm，4cm，5cm，6cmD．1cm，2cm，2cm，4cm2．若＝，则等于( )A.B.C.D.3．如图，可以判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( )A．∠A＝∠B′＝∠C′B.＝且∠A＝∠C′C.＝且∠A＝∠A′D．以上条件都不对4．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A．1：4B．1：2C．2：1D．4：15．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为( ) A．4B．5C．6D．818
6．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩短后得到CD，则点C的坐标为( )A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)7．若线段AB＝cm，C是线段AB的一个黄金分割点，则线段AC的长为( )A.B.C.或D.或8．如图，小东用长3.2m的竹竿BE做测量工具测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿BE，使竹竿BE、旗杆CD顶端的影子恰好落在地面的同一点A处．此时，竹竿BE与点A相距8m，与旗杆CD相距22m，则旗杆CD的高度为( )A．12mB．10mC．8mD．7m18
9．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是( )10．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的( )A.B.C.D.11．如图，在△ABC中，点D,E分别是边AC,AB的中点，BD与CE相交于点O,连接DE.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF18
等于( )A．2B．2.4C．2.5D．2.2513．如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )A．6米B．8米C．18米D．24米14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC等于( )A．9∶4B．9∶2C．3∶4D．3∶215．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( )18
A．1B．2C．12－6D．6－616．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为( )A．1B．2C．3D．418
二、填空题(每题3分，共9分)17．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝________.18．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC＝________． 19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．18
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．21．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，并求出△A2B2C2的面积．18
22．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD.(1)求证：△ABC～△ACD；(2)若AD＝2，AB＝5，求AC的长．23．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．18
24．如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFHD白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点H，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？18
25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果点E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？18
26．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E是CD的中点，求证：Q是CF的中点；(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．18
答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A7．C 8．A 点拨：∵BE∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴＝，即＝，解得CD＝12m．故旗杆CD的高度为12m．故选A.9．D 10.C11．B 点拨：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC且＝，②正确；∴∠ODE＝∠OBC，∠OED＝∠OCB，∴△ODE∽△OBC，∴＝＝＝，①错误；＝＝，③错误；∵＝＝＝，∴＝，④正确．故选B.12．B13．B 点拨：由题意知，∠APB＝∠CPD.又∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝.∵AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，∴CD＝＝＝8(米)．故选B.14．D 点拨：方法1：∵∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，又∠A是公共角，18
∴Rt△ABC∽Rt△ACD.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°，又∠B是公共角，∴Rt△ABC∽Rt△CBD，∴＝，∴BC2＝BD·AB.∴＝＝＝.∴AC∶BC＝3∶2.方法2：易证△ACD∽△CBD，∴＝.又∵CD⊥AB，∴＝＝＝，∴＝.15．D 点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD：AB＝AG:AC. 又∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝BC＝6.18
∴AM＝＝12.∵＝，即＝，∴AN＝6.∴MN＝AM－AN＝6.∴FH＝MN－GF＝6－6.故选D.16．D 点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴EM是AB边上的中线．∴EM＝AB.∵点D，点N分别是BC，AC的中点，∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确；由DN∥AB，易证△CDN∽△CBA.∴＝＝.∴S△CND＝S四边形ABDN.②正确；如图，连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，18
∴DM＝AC，DM∥AC，∴四边形AMDN是平行四边形．∴∠AMD＝∠AND.易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，∴∠EMD＝∠DNF.∵FN是AC边上的中线，∴FN＝AC.∴DM＝FN.又∵EM＝DN，∴△DEM≌△FDN.∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确；∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°，∴DE⊥DF.④正确．故选D.二、17.2 18.1∶3 19.三、20.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C2就是所要画的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E，F.∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2:1，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)．∴S△A2B2C2＝×(2＋8)×10－×2×6－×4×8＝28.18
22．(1)证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD.(2)解：由(1)知△ABC∽△ACD，∴＝.∵AD＝2，AB＝5，∴＝，∴AC＝(负值舍去)．23．解：由题意可得DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.所以＝，即＝.因为AD＝16m，BC＝50m，DE＝20m，所以＝.所以DB＝24m.答：这条河的宽度为24m.24．解：如图，过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N.18
∵∠BAC＝90°，∴∠BNA＝∠BAC，BC＝＝20(cm)．又∵∠B＝∠B，∴△ABN∽△CBA，∴＝，∴AN＝＝(cm)．∵四边形EFHD是矩形，∴HF∥ED，∴∠AHF＝∠B，∠AFM＝∠C，∴△AHF∽△ABC，∴＝.设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2∶1，可知HF＝2x，∴＝，解得x＝，∴2x＝.故所截矩形的长为cm，宽为cm.25．解：(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF.所以12－2t＝4t，解得t＝2.所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则＝，所以＝，解得t＝3，即当t＝3时，△EFC∽△ACD；②若△FEC∽△ACD，则＝，所以＝，解得t＝1.2，即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．26．(1)证明：由AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，得△ADE≌△DCF. (2)证明：因为四边形AEHG是正方形，所以∠AEH＝90°.18
所以∠QEC＋∠AED＝90°.又因为∠AED＋∠EAD＝90°，所以∠QEC＝∠EAD.因为∠C＝∠ADE＝90°，所以△ECQ∽△ADE.所以＝.因为E是CD的中点，CD＝AD，所以EC＝DE＝AD.所以＝.因为DE＝CF，所以＝＝，即Q是CF的中点．(3)解：S1＋S2＝S3成立．理由：因为△ECQ∽△ADE，所以＝.所以＝.因为∠C＝∠AEQ＝90°，所以△ECQ∽△AEQ.所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.所以＝，＝.所以＋＝＋＝.在Rt△AEQ中，由勾股定理得EQ2＋AE2＝AQ2，所以＋＝1，即S1＋S2＝S3.18
