第二十五章达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1.如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是()a2a2a5abA.＝B.＝C.＝D.＝b55bb2252．在下列各组线段中，不．成．比．例．的是()A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝1，b＝2，c＝3，d＝63．已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的面积比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶164．佳佳在家里写作业时，作业不小心被墨水污染了其中一部分(如图)，则污染的部分是()(第4题)A．DFB．ACC．EFD．CF5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不．能．判定△ABC∽△AED的是()ADACADDEA．∠AED＝∠BB．∠ADE＝∠CC.＝D.＝AEABABBC(第5题)(第6题)6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交DB于点F，DEEA＝34，EF＝3，则CD的长为()A．4B．7C．3D．127．下列说法：①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；③相似三角形一定不是全等三角形；1
④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．48.下列说法正确的是()A．石家庄以岭药业生产的连花清瘟胶囊的商标图案都是相似的B．嘉琪所有的照片都是相似的C．每次购物手机上生成的付款二维码都是相似的D．药店新买来的医用口罩都是相似的9．如图，是相似三角形的是()(第9题)A．①②B．②③C．①③D．②④AC10．如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则＝()BC5－13－55＋13＋5A.B.C.D.2222(第10题)(第11题)11．如图是一个直角三角形苗圃，它由一个正方形花坛和两块直角三角形草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4m和6m，则草皮的总面积为()2222A．313mB．9mC．12mD．24m12．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直BE线a，b，c于点D，E，F.若AB＝3，AD＝BC＝5，则的值应该()CF111A．等于B．小于C．大于D．不能确定3332
(第12题)(第13题)13．如图，在平面直角坐标系中，点E(－4，2)，点F(－1，－1)，以O为位似中心，将△EFO1缩小为原来的，则点E的对应点E′的坐标为()2A．(2，－1)或(－2，1)B．(8，－4)或(－8，4)C．(2，－1)D．(8，－4)14．如图，AD为△ABC的中线，AEEFFD＝4∶3∶1，则AGGHHC等于()A．4∶5∶3B．3∶4∶2C．2∶3∶1D．1∶1∶1(第14题)(第15题)15．如图，AB＝4，射线BM和线段AB互相垂直，D为线段AB上一点，点E在射线BM上，1且2BE＝DB，作EF⊥DE，EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝2y，则()16x2xA．y＝B．y＝8－xx－18x12xC．y＝D．y＝x－1x－1416．如图，△ABC的面积为S.点P1，P2，P3，…，Pn－1是边BC的n等分点(n≥3，且n为整AMAN1数)，点M，N分别在边AB，AC上，且＝＝，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn－1，NB，ABACnNP1，NP2，…，NPn－1，线段MP1与NB相交于点O1，线段MP2与NP1相交于点O2，线段MP3与NP2相交于点O3，…，线段MPn－1与NPn－2相交于点On－1，则△NO1P1，△NO2P2，△NO3P3，…，△NOn－1Pn－1的面积和是()21n－1n－1（n－1）A.SB.SC.SD.S22n2n2n(第16题)(第18题)二、填空题(17、18题每题3分，19题每空2分，共12分)3
a5a17．已知＝，则＝________．b7a＋b18．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．4
(第19题)19．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2.测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则点B到河岸l的距离为________米，场地的边AB为________米，BC为________米．三、解答题(20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，26题12分，共66分)20．如图，△ABC在方格纸(小正方形的边长均为1)中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(3，4)，C(7，3)，并写出点B的坐标；(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；(3)计算△A′B′C′的面积S.(第20题)21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝5
45°.(第21题)(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，BE＝2，求CD的长．22．如图，两车从路段AB两端同时出发，沿平行路线行驶(即AC∥BD)，CE和DF的长分别表示两车到路段AB的距离．(第22题)(1)如果两车行驶速度不相同，求证：△ACE∽△BDF；(2)添加一个条件，使△ACE≌△BDF，请说明理由．6
23．如图，要从一块直角三角形的白铁皮余料ABC上截出一块矩形白铁皮EFGH.已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要使截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，则所截矩形的长和宽各是多少？(第23题)24．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以4cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过多久，△PBQ与△ABC相似？(第24题)7
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另外一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直．(1)设AD＝x，CF＝y，求y与x之间的函数表达式，并直接写出函数自变量的取值范围；(2)如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．(第25题)26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(2，2)，点C是线段OA上的一个动点(不运动至O，A两点)，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在其右侧作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t.8
FE(1)求的值．OE(2)用含t的代数式表示△OAB的面积．(3)是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．(第26题)9
答案一、1.C2.C3.D4.C5.D6.B7．A8.A9.C10.A11.C12.C13．A14．B【点拨】如图，过点D作DN∥AC，分别交BG，BH于点N，M，DNDEDMDF∴易得＝，＝.AGAEAHAF∵AE∶EF∶FD＝4∶3∶1，DNDE1＋3DMDF111∴＝＝＝1，＝＝＝，∴DN＝AG，DM＝AH.AGAE4AHAF4＋377∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，又∵DN∥AC，∴点N是BG的中点，点M是BH的中点，11∴DN＝CG，DM＝CH，2212∴AG＝CG，CH＝AH.27∵AG＋CG＝AC，CH＋AH＝AC，12∴AG＝AC，CH＝AC，39124142∴GH＝AC－AG－CH＝AC－AC－AC＝AC，∴AG∶GH∶HC＝AC∶AC∶AC＝3∶4∶2.399399(第14题)15．A【点拨】过点F作FG⊥BC于G，∵∠DBE＝∠DEF＝90°，∴∠BDE＋∠BED＝∠BED＋∠FEG＝90°，∴∠BDE＝∠FEG.又∵∠DBE＝∠EGF＝90°，DEDBBE∴△DBE∽△EGF.∴＝＝.EFEGFG1∵EF＝DE，2BE＝DB，BE＝x，210
111∴FG＝BE＝x，EG＝DB＝x.222∵AB⊥BM，FG⊥BM，∴FG∥AB，∴△CFG∽△CAB.FGCG∴＝.ABBC1xy－2x16x∴2＝，整理得y＝.y8－x416．D【点拨】连接MN，AMAN1∵＝＝，∠A＝∠A，ABACn∴△AMN∽△ABC.MNAM1∴＝＝，∠AMN＝∠ABC.BCABn∴MN∥BC.∵点P1，P2，P3，…，Pn－1是边BC的n等分点，∴MN＝BP1＝P1P2＝P2P3＝…＝Pn－1C.∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2，…，四边形MNPn－1Pn－2都是平行四边形．n－1n－1易知S△BCN＝S，S△MNB＝2S，nnn－1∴S△BP1O1＝S△P1P2O2＝S△P3P2O3＝…＝S△Pn－2Pn－1On－1＝2S.2nn－1n－1n－1∴S阴＝S△NBC－(n－1)·S△BP1O1－S△NPn－1C＝S－(n－1)·2S－2S＝n2nn2（n－1）S.22n5二、17.18.(－5，－1)1219．10；152；202【点拨】∵AE⊥l，BF⊥l，∠ANE＝45°，∴△ANE和△BNF都是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN.∵EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∴AE＝EN＝15＋2＋8＝25(米)，BF＝FN＝2＋8＝10(米)．∴AN＝252米，BN＝102米，∴AB＝AN－BN＝152米．如图，过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于点P，交CH于点Q，11
∴AE∥CH∥BF，∴易得四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，∴PE＝BF＝QH＝10米，PB＝EF＝15米，BQ＝FH，∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，∴△AEF∽△CHM，CHAE255∴＝＝＝，HMEF153∴设MH＝3x米，CH＝5x米，∴CQ＝(5x－10)米，BQ＝FH＝(3x＋2)米，∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，∴∠ABP＋∠PAB＝∠ABP＋∠CBQ＝90°，∴∠PAB＝∠CBQ，APPB∴△APB∽△BQC，∴＝，BQCQ25－1015∴＝，∴x＝6，3x＋25x－10∴BQ＝CQ＝20米，∴BC＝202米．(第19题)三、20.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．点B的坐标为(3，2)．(第20题)(2)如图所示．1(3)△A′B′C′的面积S＝×4×8＝16.221．(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∠AED＝45°，∴∠BAE＝∠CED.∴△ABE∽△12
ECD.(2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝42.∵BE＝2，∴EC＝32.∵△ABE∽△ECD，ABBE42∴＝，即＝，ECCD32CD3解得CD＝.222．(1)证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°，∴△ACE∽△BDF.(2)解：添加的条件为两车等速行驶．理由：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°.∵两车等速同时行驶，∴AC＝BD.在△ACE和△BDF中，∠CEA＝∠DFB，∠A＝∠B，∴△ACE≌△BDF.AC＝BD，23．解：过点A作AN⊥BC交EF于点M，交BC于点N.∵∠BAC＝90°，22∴∠BNA＝∠BAC，BC＝AB＋AC＝20cm.又∵∠B＝∠B，ANAB∴△ABN∽△CBA.∴＝.ACBCAC·AB48∴AN＝＝cm.BC5∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥HG.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.13
AMEF∴△AEF∽△ABC.∴＝.ANBC48－x52x设FG＝xcm，则MN＝xcm，EF＝2xcm.∴＝，48205240480解得x＝.∴2x＝.4949480240答：所截矩形的长是cm，宽是cm.494924．解：设经过ts，△PBQ与△ABC相似．由题意得AP＝2tcm，BQ＝4tcm，BP＝(10－2t)cm.BPBQ当△PBQ∽△ABC时，有＝，ABBC10－2t4t即＝，解得t＝2.5；1020BPBQ当△QBP∽△ABC时，有＝，BCAB10－2t4t即＝，解得t＝1.2010综上所述，经过2.5s或1s，△PBQ与△ABC相似．25．解：(1)∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于点D，∴∠FDB＝60°.∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∴△BDF是等边三角形．∴BD＝BF.∵BC＝1，∠A＝30°，∴AB＝2，∴2－x＝1－y，∴y＝x－1.3自变量的取值范围是1≤x≤.2(2)①如图①，当△CEF∽△EDF时，CFEF＝，∠CEF＝∠EDF＝30°.EFDF∵CF＝y，∴EF＝2y.∵△BDF是等边三角形，∴DF＝BF＝1－y.y2y1∴＝.解得y＝.2y1－y5∵AD＝x，y＝x－1，16∴AD＝1＋＝；5514
(第25题)②如图②，当△CEF∽△FED时，CFCE＝，∠CFE＝∠FDE＝30°.FDEF1y1∴CE＝EF.∴＝，21－y2114解得y＝，∴AD＝1＋＝.33364∴AD的长为或.5326．解：(1)∵A(2，2)，∴∠AOD＝45°.∴△OCD是等腰直角三角形．∵OD＝t，∴正方形CDEF的边长为t.∴OE＝OD＋DE＝t＋t＝2t.EFt1∴＝＝.OE2t2(2)∵A(2，2)，∴OA＝22.∵OD＝t，∴OC＝2t.∴AC＝OA－OC＝22－2t.∵四边形CDEF是正方形，∴CF∥OB.∴△ACF∽△AOB.ACCF22－2tt∴＝，即＝.OAOB22OB2t解得OB＝.2－t2t∴易得S△OAB＝(0＜t＜2)．2－t(3)存在．要使△BEF与△OEF相似，∵∠FEO＝∠FEB＝90°，EFEFEFEB∴只要＝或＝即可，OEEBOEEF15
1t1EB即＝或＝.2EB2t1解得BE＝2t或BE＝t.2①当BE＝2t时，BO＝4t，2t3∴＝4t.解得t＝0(舍去)或t＝.∴B(6，0)．2－t21②当BE＝t时，若B在E的左侧，213则OB＝OE－EB＝2t－t＝t，222t32∴＝t.解得t＝0(舍去)或t＝.∴B(1，0)；2－t23152t5若B在E的右侧，则OB＝OE＋EB＝2t＋t＝t，∴＝t.222－t26解得t＝0(舍去)或t＝.∴B(3，0)．5综上所述，B点的坐标为(6，0)或(1，0)或(3，0)．16
