第23章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四组线段中，是成比例线段的是( )A．3cm，4cm，5cm，6cmB．4cm，8cm，3cm，5cmC．5cm，15cm，2cm，6cmD．8cm，4cm，1cm，3cm2．下列各组图形中有可能不相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连结AE，BD交于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为( )A．2∶5B．3∶5C．9∶25D．4∶254．如图，△ABO是△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O内，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为( )A．(2m，n)B．(m，n)C．(m，2n)D．(2m，2n)5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．0个6．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长1.5m的标杆DF，量出DF的影长EF为1m，再量出同一时刻旗杆AC的影长BC为6m，则旗杆AC的高为( )A．6mB．7mC．8.5mD．9m13
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．(6，0)B．(6，3)C．(6，5)D．(4，2)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )A．2B．2.4C．2.5D．2.259．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝( )A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：2510．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M，连结AP.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是( )A．①②③B．①C．①②D．②③二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝________．12．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500000的地图上测得他所居住的城市距A地32cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．13．已知＝＝，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为________．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝________.15．如图，△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．13
17．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2021次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2021的位置，则点P2021的横坐标为________．18．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45cm，小尺长a＝15cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42m，则铁塔的高度是________m.19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足为点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．20．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则Sn＝____________.(用含n的式子表示，n为正整数)13
三、解答题(21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分)21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF(点A，B，C分别对应点D，E，F)，且△ABC与△DEF的相似比为2：1.(1)画出△DEF；(2)线段AC的中点变换后对应的点的坐标为________；(3)求△DEF的周长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；13
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．24．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.13
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向点C以2cm/s的速度移动，到点C就停止移动，点Q从点C沿CB向点B以1cm/s的速度移动，到点B就停止移动．(1)若点P，Q同时出发，则经过几秒S△PCQ＝2cm2?(2)若点Q从点C出发2s后点P出发，则点P移动几秒时△PCQ与△ACB相似？26．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．13
答案一、1.C 2.A 3.C 4.D 5.A6．D 【点拨】易证△DEF∽△ABC，所以＝，即＝，解得AC＝9m．故选D.7．B8．B 【点拨】由∠A＝∠BFC＝90°，∠ABE＝∠FCB，易证△ABE∽△FCB.∴＝.由AE＝×3＝1.5，AB＝2，得BE＝2.5，∴＝.∴CF＝2.4.9．D10．A 【点拨】由题意可得AC＝AB，AD＝AE，∴＝.∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故结论①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，即MP·MD＝MA·ME，故结论②正确．∵＝，∴＝，又∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠MED＝90°.∵∠CAE＝180°－∠BAC－∠EAD＝90°＝∠APC，∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，∴＝，即AC2＝CP·CM.∵AC＝CB，13
∴2CB2＝CP·CM，故结论③正确．综上，正确的结论是①②③，故选A.二、11.412．160km 【点拨】设小明所居住的城市与A地的实际距离为xkm，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.13．14 【点拨】由＝＝，可设a＝5k，b＝7k，c＝8k.∵3a－2b＋c＝9，∴3×5k－2×7k＋8k＝9，∴k＝1.∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14k＝14.14.15．2；12；16 16．(，)17．202018．14 【点拨】作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝42m，由题意知，CP＝45cm＝0.45m，EF＝15cm＝0.15m.∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，即＝，∴AB＝14m，即铁塔的高度为14m.19.或3 【点拨】∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB13
＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.20.× 【点拨】在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，则＝.∴S1＝S.同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….又∵S＝×1×＝，∴S1＝S＝×，S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.三、21.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以x∶7＝12∶6，解得x＝14.22．解：(1)△DEF如图所示．13
(2)(2，1.5)(3)△DEF的周长是DE＋EF＋DF＝1＋＋.23．(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，BD＝BC＝5.在Rt△ADB中，AD＝＝＝12.又易知·AD·BD＝·AB·DE，∴DE＝.24．解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC＝∠ADE＝90°.∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴＝.∵BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m，∴＝，解得AB＝17m.∴河宽AB为17m.13
25．解：(1)设经过tsS△PCQ＝2cm2，则AP＝2tcm，CQ＝tcm，所以PC＝(8－2t)cm，由题意得×(8－2t)t＝2，整理得t2－4t＋2＝0，解得t＝2±，所以点P，Q同时出发，经过(2＋)s或(2－)sS△PCQ＝2cm2.(2)设点P移动as时△PCQ与△ACB相似，则AP＝2acm，CQ＝(2＋a)cm，所以PC＝(8－2a)cm，当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，解得a＝.当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，解得a＝.综上所述，点P移动s或s时△PCQ与△ACB相似．26．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，∴AC＝＝4，∴AE＝CE＝2，∴＝＝.当α＝180°时，如图①，∵AC＝4，CE＝2，CD＝4，BC＝8，∴＝＝＝.13
(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴＝，∠EDC＝∠ABC＝90°.在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴＝仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴＝.∵AC＝4，BC＝8，∴＝＝，∴＝，∴的大小不变．13
(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又∵DE＝2，∴AE＝6，∵＝，∴BD＝.综上，BD的长为4或.13
