第六章达标检测卷一、选择题(每题3分，共24分)1．延长线段AB到C，使BC＝2AB，则ACAB为( )A．1：2B．2：1C．1：3D．3：12．若△ABC与△DEF相似，且相似比为13，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1：3B．1：9C．3：1D．1：3．在比例尺为120的图纸上画出的某个零件的长是32mm，这个零件的实际长是( )A．64mB．64dmC．64cmD．64mm4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列各式的值不等于的是( )A.B.C.D.5．小李家承包了两块三角形土地，分别是△ABC和△A′B′C′，已知＝＝＝，且△ABC的面积为9m2，则△A′B′C′的面积是( )A．4m2B．12m2C．16m2D．6m26．如图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB为( )A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm18
7．某天，身高1.60米的小明在太阳光下测得自己的影长是3.20米，小华在同一时刻测得自己的影长是3.30米，则小华的身高是( )A．1.70米B．1.65米C．1.625米D．1.60米8．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝( )A.B.C．1 D.二、填空题(每题3分，共30分)9．如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若要使△ABC∽△ACD，那么还需要添加的一个条件是________(填上你认为正确的一个即可)．10．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的对应角平分线之比为________，周长之比为________，面积之比为________．11．若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应中线的比是________．12．已知△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC边、EF边上的高，且AM＝3，DN＝9，已知△DEF的面积为27，那么△ABC的面积为________．18
13．将两块三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则的值是________．14．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平地面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为18米，则古塔的高度是________米．15．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为________米．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是________．18
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为________．18．如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16.你认为其中正确的是________．(填写序号)18
三、解答题(19～20题每题7分，21～24题每题8分，25～26题每题10分，共66分)19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E.(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长．20.如图①，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图②，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ.(1)求证：△PBE∽△QAB.(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？若相似给出证明；若不相似请说明理由．(3)延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为________．18
21．如图，一名同学想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙上(CD)，他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2m，又测得地面部分的影长(BC)为2.7m，他测得的树高应为多少米？22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF.(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；(2)连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．18
23．如图①，已知平面内一点P与一直线l，如果过点P作直线l′⊥l，垂足为P′，那么垂足P′叫做点P在直线l上的射影；如果线段PQ的两个端点P和Q在直线l上的射影分别为点P′和Q′，那么线段P′Q′叫做线段PQ在直线l上的射影．(1)如图②，E、F为线段AD外两点，EB⊥AD，FC⊥AD，垂足分别为B、C.则E点在AD上的射影是________点，A点在AD上的射影是________点，线段EF在AD上的射影是________，线段AE在AD上的射影是________；(2)根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项(要求：画出图形，写出说理过程)．24．如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA·PB.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB＝3PA，求的值．18
25．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q.已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b.(1)四边形EBHP的面积________四边形GPFD的面积(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)求证：△P1FQ∽△P2HQ；(3)设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．18
26．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．18
答案一、1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C7．B8．A 【点拨】设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°.在△DAE和△DCF中，∴△DAE≌△DCF.∴∠ADE＝∠CDF.在△DAM和△DCN中，∴△DAM≌△DCN.∴AM＝CN.∵AB＝BC，∴BM＝BN.∵CN∥AD，∴＝＝.∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a.∴＝＝＝.故选A.二、9.∠B＝∠ACD(答案不唯一)10．2：3；2：3；4：911．4：9 12.3 13. 14.14.418
15．3 16.6：117.18．①②③④ 【点拨】①由正方形ABCD和正方形BGEF可知，△ABD和△FBE都是等腰直角三角形．∴∠ABD＝∠FBE＝45°.∴∠ABF＝∠DBE.∴①正确．②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴＝.又∵∠ABF＝∠DBE，∴△ABF∽△DBE.∴②正确．③∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB＝∠EDB＝45°.∴AF⊥BD.∴③正确．④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，∴△BEH∽△BDE.∴＝.∴BE2＝BH·BD.易得BE＝BG，∴2BG2＝BH·BD.∴④正确．⑤∵CE：DE＝1：3，∴设CE＝x，DE＝3x.∴BC＝DC＝AB＝AD＝4x，∴BD＝4x.在Rt△BCE中，由勾股定理知BE＝x.18
∵BE2＝BD·BH，∴17x2＝4x·BH.∴BH＝x.∴DH＝x.∴BHDH＝1715.∴⑤错误．三、19.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AMB.又易知∠DEA＝∠B＝90°，∴△DAE∽△AMB.(2)解：由(1)知△DAE∽△AMB，∴DE：AD＝AB：AM.∵M是边BC的中点，BC＝6，∴BM＝3.又∵AB＝4，∠B＝90°，∴AM＝5.∴DE：6＝4：5.∴DE＝.20．(1)证明：由题易知∠PBE＋∠ABQ＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.在△PBE与△QAB中，∵∠PEB＝∠ABQ，∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB.(2)解：△PBE和△BAE相似．证明：∵△PBE∽△QAB，18
∴＝.∵BQ＝PB，∴＝.又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，∴△PBE∽△BAE.(3)等边三角形21．解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，∴＝，解得x＝1.08.∴树的影长为1.08＋2.7＝3.78(m)．∴＝，解得h＝4.2.答：测得的树高为4.2m.22．解：(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC.∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF.∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF.∴BE∥DF.∴四边形BEDF为平行四边形．(2)设AG＝2a，∵＝，∴OG＝3a，∴AO＝5a.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO＝5a，∴AC＝10a，∴CG＝8a.18
∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB.∴＝＝.∵AE＝4，∴BC＝16.23．解：(1)B；A；线段BC；线段AB(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D,则AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.又易知∠B＋∠A＝90°，∠B＋∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ACD∽△CBD，∴＝，即CD是AC，BC在斜边上射影的比例中项．24．(1)证明：如图，连接OC.∵PC2＝PA·PB，∴＝.又∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.18
∴∠PCA＝∠B.易得∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA.∴∠PCA＋∠OCA＝90°.∴OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．(2)解：∵AB＝3PA，∴PB＝4PA，OA＝OC＝PA，PO＝PA.∵OC⊥PC，∴PC＝＝2PA.∵△PAC∽△PCB，∴＝＝＝.25．(1)＝(2)证明：∵PP1＝PG，PP2＝PE，易知PE·PH＝2ab，PG·PF＝2ab.∴PP2·PH＝PP1·PF，即＝.又∵∠FPP2＝∠HPP1，∴△PP2F∽△PP1H.∴∠PFP2＝∠PHP1.又∵∠P1QF＝∠P2QH，∴△P1FQ∽△P2HQ.(3)解：如图，连接P1P2、FH.18
易得＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠P1PP2＝∠C＝90°，∴△PP1P2∽△CFH.∴＝＝，∴＝＝.由(2)中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，∴＝.又∵∠P1QP2＝∠FQH，∴△P1QP2∽△FQH.∴＝＝.∵S1＝S△P1PP2＋S△P1QP2，S2＝S△CFH＋S△FQH，∴S1＝S△CFH＋S△FQH＝S2.∴＝.26．解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm.∴AO＝AC＝5cm.①当AP＝PO＝tcm时，过P作PG⊥AO于G，如图①，18
∴AG＝AO＝cm.∵∠PGA＝∠ADC＝90°，∠PAG＝∠CAD，∴△APG∽△ACD.∴＝.∴＝，解得t＝.②当AP＝AO时，t＝5，∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形．(2)如图②，过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm.由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又∠DOP＝∠BOE，∴△DOP≌△BOE.∴BE＝PD＝(8－t)cm.则S△BOE＝BE·OH＝×3(8－t)＝12－t(cm2)．∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，相似比为＝.∴＝.∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12cm2，∴S△DFQ＝12×＝(cm2)．∴S五边形OECQF＝S△DBC－S△BOE－S△DFQ＝×6×8－－＝－t2＋t＋12(cm2)．∴S与t的函数关系式为S＝－t2＋t＋12.(3)存在．∵S△ACD＝×6×8＝24(cm2)，∴S五边形OECQF：S△ACD＝(－t2＋t＋12)24＝916.18
解得t＝3或t＝.∴t＝3或时，S五边形OECQFS△ACD＝916.(4)存在．如图③，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N.要使OD平分∠COP，则DM＝DN.又易知DN＝＝(cm)，∴DM＝DN＝cm.∴OM＝＝cm.又易知OP·DM＝3PD，∴OP＝cm.∴PM＝cm.∵PD2＝PM2＋DM2，∴(8－t)2＝＋，解得t＝16(不合题意，舍去)或t＝.∴当t＝时，OD平分∠COP.【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．18
