第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝7，AC＝24，则sinB的值是( )A.B.C.D.2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于( )A.B.C.D.3．当30°＜∠A＜90°时，sinA的值( )A．大于B．小于C．小于D．大于，小于14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )A.B.C.D.(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6m，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为( )A.mB.mC．6cos52°mD.m6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的正割，用“secA”表示，如设该直角三角形各边长为a，b，c，则secA＝，则下列说法正确的是( )A．secB·sinA＝1B．secB＝C．secA·cosB＝1D．sec2A·sec2B＝17.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A10,处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A．10海里/时B．30海里/时C．20海里/时D．30海里/时8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为( )A．75mB．50mC．30mD．12m(第8题) (第9题) (第10题)9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的．若把甲杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是( )A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm10．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为( )A.B.C.D.二、填空题(每题3分，共18分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sinB＝________．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则sinB的值为________．13．如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．10,(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)14.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α＋β)________tanα＋tanβ.(填“＞”“＜”或“＝”)15．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____________________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan∠DOE＝，则BN的长为________．三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tanB的值．18．已知α为锐角，且sin2α－sinα＋1＝0，求sinα的值．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sinC＝，AD＝24，求BC的长．10,20．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部B点处到坡面CD顶端C点处的水平距离BC＝1米，旗杆AB的高度约为多少？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，计算结果保留一位小数)21．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．施工队原计划每天修建多少千米？10,22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．(1)小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图①，则tan∠BAP的值为________；(2)请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan∠BAP的值．10,答案一、1．D 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A7．D 点拨：∵∠CAB＝10°＋20°＝30°，∠CBA＝80°－20°＝60°，∴∠C＝90°.∵AB＝20海里，∴AC＝AB·cos30°＝10海里．∴救援船航行的速度为10÷＝30(海里/时)．故选D.8．A 点拨：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝＝＝，解得AC＝75m，故选A.9．C10．D 点拨：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵tanB＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x.∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD＝90°，∴△CDE∽△BDA，∴＝＝＝，∴CE＝x，DE＝x，∴AE＝x，∴tan∠CAD＝＝，故选D.二、11． 12． 13．214．＞ 点拨：如图，易知△ABC是等腰直角三角形，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1，tan10,α＋tanβ＝＋＝＜1，∴tan(α＋β)＞tanα＋tanβ.15.＜BC＜216．3 点拨：∵S矩形OABC＝32，∴AB·BC＝32.∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB＝DE，OD＝OA.在Rt△ODE中，tan∠DOE＝＝，∴OD＝2DE，∴DE·2DE＝32，解得DE＝4，∴AB＝4，OA＝8.在Rt△OCM中，∵tan∠COM＝＝，而OC＝AB＝4，∴MC＝2，∴M(－2，4)．把M(－2，4)的坐标代入y＝，得k＝－2×4＝－8，∴反比例函数表达式为y＝－.当x＝－8时，y＝－＝1，则N(－8，1)，∴BN＝4－1＝3.故答案为3.三、17．解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，则S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12，解得AD＝4.在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，∴tanB＝＝＝.18．解：由题意，得sinα＝2或sinα＝.∵α为锐角，∴0＜sinα＜1.10,∴sinα＝.19．(1)证明：在Rt△ABD和Rt△ADC中，tanB＝，cos∠DAC＝.∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD.(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝，则AC＝＝＝26，∴CD＝＝＝10.∴BC＝BD＋CD＝AC＋CD＝26＋10＝36.20．解：如图，延长AB交ED的延长线于M，过点C作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形．由题意得在Rt△CJD中，＝＝，设CJ＝4k米，DJ＝3k米，∵CD＝2米，∴(3k)2＋(4k)2＝22，∴k＝(负值舍去)，∴BM＝CJ＝米，BC＝MJ＝1米，DJ＝米，∴EM＝MJ＋DJ＋DE＝米．在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，∴tan58°＝≈1.60，解得AB≈13.1米．故旗杆AB的高度约为13.1米．21．解：(1)如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D.10,∵在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝100千米，∴CD＝BC·sin30°＝100×＝50(千米)，BD＝BC·cos30°＝100×＝50(千米)．∵在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴∠ACD＝45°＝∠A，∴AD＝CD＝50千米，AC＝＝＝50(千米)，∴AB＝AD＋BD＝50＋50(千米)，∴AC＋BC－AB＝50＋100－(50＋50)＝50＋50－50≈35(千米)．答：从A地到景区B旅游可以少走约35千米．(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意得－＝50，解得x≈0.54，经检验x≈0.54是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建约0.54千米．22．解：(1)1(2)(画法一)如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.∵AP＝AD＝6，AB＝3，∴在Rt△ABP中，BP＝＝3.∴tan∠BAP＝＝.(画法二)如图②所示．10,∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∴在Rt△CPD中，CP＝＝3.∴BP＝BC－CP＝6－3.∴tan∠BAP＝＝2－.10
