第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为( )A．B．C．D．(第1题) (第4题) (第5题) (第6题)2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于( )A．B．C．D．3．当30°＜∠A＜90°时，sinA的值( )A．大于B．小于C．小于D．大于，小于14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )A．B．C．D．5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6m，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为( )A．mB．mC．6cos52°mD．m6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的正割，用“secA”表示，如设该直角三角形各边长为a，b，c，则secA＝，则下列说法正确的是( )A．secB·sinA＝1B．secB＝C．secA·cosB＝1D．sec2A·sec2B＝17．如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C11,处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A．10海里/时B．30海里/时C．20海里/时D．30海里/时(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为( )A．75mB．50mC．30mD．12m9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的．若把甲杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是( )A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm10．如图，在直角三角形BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为( )A．B．C．D．二、填空题(每题3分，共18分)11．2sin60°＝__________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sinB＝________．13．如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)14.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α＋11,β)________tanα＋tanβ.(填“＞”“＜”或“＝”)15．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan∠DOE＝，则BN的长为________．三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tanB的值．(第17题)18．已知α为锐角，且sin2α－sinα＋1＝0，求sinα的值．11,19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sinC＝，AD＝24，求BC的长．(第19题)20．小李要外出参加夏令营活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE∶CD＝1∶3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号)．11,(第20题)21．宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm.(1)求坐垫E到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)(第21题)11,22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．(1)小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图①，则tan∠BAP的值为________；(2)请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan∠BAP的值．(第22题)11,答案一、1.D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A7．D 点拨：∵∠CAB＝10°＋20°＝30°，∠CBA＝80°－20°＝60°，∴∠C＝90°.∵AB＝20海里，∴AC＝AB·cos30°＝10海里．∴救援船航行的速度为10÷＝30(海里/时)．故选D.8．A 点拨：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝＝＝，解得AC＝75m，故选A.9．C10．D 点拨：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵tanB＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x.∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD＝90°，∴△CDE∽△BDA，∴＝＝＝，∴CE＝x，DE＝x，∴AE＝x，∴tan∠CAD＝＝，故选D.(第10题)二、11． 12． 13．214．＞ 点拨：如图，易知△ABC是等腰直角三角形，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1，tan11,α＋tanβ＝＋＝＜1，∴tan(α＋β)＞tanα＋tanβ.(第14题)15．＜BC＜216．3 点拨：∵S矩形OABC＝32，∴AB·BC＝32.∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB＝DE，OD＝OA.在Rt△ODE中，tan∠DOE＝＝，∴OD＝2DE，∴DE·2DE＝32，解得DE＝4，∴AB＝4，OA＝8.在Rt△OCM中，∵tan∠COM＝＝，而OC＝AB＝4，∴MC＝2，∴M(－2，4)．把M(－2，4)的坐标代入y＝，得k＝－2×4＝－8，∴反比例函数表达式为y＝－.当x＝－8时，y＝－＝1，则N(－8，1)，∴BN＝4－1＝3.故答案为3.三、17.解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，则S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12，解得AD＝4.在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，∴tanB＝＝＝.11,(第17题)18．解：由题意，得sinα＝2或sinα＝.∵α为锐角，∴0＜sinα＜1.∴sinα＝.19．(1)证明：在Rt△ABD和Rt△ADC中，tanB＝，cos∠DAC＝.∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD.(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝，则AC＝＝＝26，∴CD＝＝＝10.∴BC＝BD＋CD＝AC＋CD＝26＋10＝36.20．解：(1)如图，过F作FH⊥DE于H，∴∠FHC＝∠FHD＝90°.∵∠FDC＝30°，DF＝30cm，∴FH＝DF＝15cm，DH＝DF＝15cm.∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝15cm，∴CD＝CH＋DH＝(15＋15)cm.∵CE∶CD＝1∶3，∴DE＝CD＝(20＋20)cm.11,∵AB＝BC＝DE，∴AC＝(40＋40)cm.(2)如图，过A作AG⊥ED交ED的延长线于G.∵∠ACG＝45°，∴AG＝AC＝(20＋20)cm.答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为(20＋20)cm.(第20题)21．解：(1)过点E作EG⊥CD于点G，由题意知CE＝BC＋BE＝75cm.在Rt△CEG中，∵sin64°＝＝≈0.90，∴EG≈67.5cm.∵CF＝32cm，∴坐垫E到地面的距离为67.5＋32≈99.5(cm)．(2)过点E′作E′H⊥CD于点H.由题意知E′H＝0.8×80＝64(cm)．同(1)可知，sin64°＝＝≈0.90，∴CE′≈71.1cm，∴EE′＝CE－CE′≈3.9cm.22．解：(1)1(2)(画法一)如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.∵AP＝AD＝6，AB＝3，∴在Rt△ABP中，BP＝＝3.11,∴tan∠BAP＝＝.(第22题)(画法二)如图②所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∴在Rt△CPD中，CP＝＝3.∴BP＝BC－CP＝6－3.∴tan∠BAP＝＝2－.11
