专训一：全等三角形判定的三种类型名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简便的方法来解题．已知一边一角型题型1 一次全等型1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的中线．(第1题)题型2 两次全等型2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.(第2题)已知两边型题型1 一次全等型3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．7,(第3题)题型2 两次全等型4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.(第4题)已知两角型题型1 一次全等型5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.(第5题)题型2 两次全等型6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.(第6题)7,专训二：证明三角形全等的四种思路名师点金：全等三角形是初中几何的重要内容之一，是几何入门最关键的一步，学习了判定三角形全等的几种方法之后，如何根据已知条件证明三角形全等，掌握证明全等的几种思路尤为重要．条件充足时直接用判定方法1．(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.(第1题)条件不足时添加条件再用判定方法2．(改编·衡阳)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．(第2题)7,非三角形问题中构造全等三角形用判定方法3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB.求证：(1)∠3＋∠4＝180°；(2)OA＋OB＝2OM.(第3题)实际问题中建立全等三角形模型用判定方法4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．(第4题)答案7,专训一1．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF.∴BD＝CD.∴D是BC的中点，即AD是△ABC的中线．2．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.∴∠M＝∠N＝90°.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.在△ACM和△ADN中，∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.在Rt△ABM和Rt△ABN中，∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.3．解：BF⊥AE.理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．∴∠CBD＝∠CAE.又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.4．证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°.在Rt△ACE和Rt△BDF中，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．∴∠A＝∠B.∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即AF＝BE.在△ACF和△BDE中，∴△ACF≌△BDE(SAS)．5．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴∠ADO＝∠AEO＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠DAO＝∠EAO.7,在△ADO和△AEO中，∴△ADO≌△AEO(AAS)．∴OD＝OE.又∵CD＝BE，∴CD－OD＝BE－OE，即OC＝OB.6．证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(AAS)．∴AC＝DB.又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.在△FAC和△FDB中，∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴CF＝BF.专训二1．证明：在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD.∴∠A＝∠C.∴AB∥CD.2．解：补充条件：EF＝BC，可使得△ABC≌△DEF.理由如下：∵AF＝DC，点A，F，C，D在一条直线上，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.∵BC∥EF，∴∠EFD＝∠BCA.在△DEF和△ABC中，∴△DEF≌△ABC(SAS)．点拨：答案不唯一．7,(第3题)3．证明：如图，过C点作CE⊥OB，交OB的延长线于E点．(1)∵CM⊥OA，CE⊥OE，∴∠OEC＝∠OMC＝90°，在△OEC和△OMC中，∴△OEC≌△OMC(AAS)．∴CE＝CM，又∵CA＝CB，∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)．∴∠3＝∠CBE，∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.(2)由(1)知△OCE≌△OCM，Rt△BCE≌Rt△ACM，∴OE＝OM，BE＝AM，∴OA＋OB＝OM＋AM＋OB＝OM＋BE＋OB＝OM＋OE＝2OM.4．解：在△DEB和△DFG中，∵DB＝DG，∠BDE＝∠GDF，DE＝DF，∴△DEB≌△DFG(SAS)．∴∠E＝∠F，∴AE∥FH，∴∠DBA＝∠DGH.又∵DB＝DG，∠ADB＝∠HDG.∴△ADB≌△HDG(ASA)，∴AB＝HG.7
