专训一：常见立体图形的分类名师点金：立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球)四类． 按柱、锥、球分类1．下列各选项中，都为柱体的是( ) A B C D2．在如图所示的图形中，是圆柱的有________，是棱柱的有________．(填序号)(第2题)3．(1)把图中的立体图形分类，并说明分类标准；(2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不同点？(第3题)20,按有无曲面分类4．下列几何体中表面都是平面的是( )A．圆锥 B．圆柱 C．棱柱 D．球体5．把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体________曲面．(填“有”或“无”)6．如图，按组成的面来分类，至少有一个面是平面的图形有________，至少有一个面是曲面的图形有__________．(第6题)7．将下列图形按有无曲面分类．(第7题)20,专训二：立体图形的展开与折叠名师点金：一个立体图形的平面展开图的形状由展开的方式决定，不同的展开方式得到的平面展开图一般是不一样的，但无论怎样展开，平面展开图都应体现出原立体图形面的个数与形状．正方体的展开图1．(中考·德州)如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是( )(第1题)2．如图所示的图形都是由6个大小一样的正方形拼成的，哪些是正方体的平面展开图？(第2题)长方体的展开图20,3．如图是一个长方体的平面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题．(1)如果面A是长方体的上面，那么哪一面会在下面？(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么哪一面会在前面？(第3题)其他立体图形的展开图4．如图是一些几何体的平面展开图，请写出这些几何体的名称．(第4题)立体图形展开图的相关计算问题5．(中考·青岛)如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色)，则第○n个几何体中，只有两个面涂色的小立方体共有________个．20,(第5题)6．如图所示这样形状的铁皮能围成一个长方体铁桶吗？如果能，它的体积有多大？(第6题)20,专训三：巧用线段中点的有关计算名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．线段中点问题类型一：与线段中点有关的计算 1．已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段AB＝20cm，线段BC＝8cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．(1)求线段MN的长；(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB＝a，BC＝b，且a＞b，其他条件都不变，你能猜出MN的长度吗？(直接写出结果)类型二：与线段中点有关的说明题2．画线段MN＝3cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；延长线段MN到点A，使AN＝MN；延长线段NM到点B，使BN＝3BM.20,(1)求线段BM的长；(2)求线段AN的长；(3)试说明点Q是哪些线段的中点．线段分点问题类型一：与线段分点有关的计算(设参法)3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是AD的中点，CD＝6cm，求线段MC的长．(第3题)20,类型二：线段分点与方程的结合4．A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒，4个单位长度/秒的速度同时向左运动．(1)几秒后，原点恰好在两点正中间？(2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2?(第4题)专训四：线段上的动点问题名师点金： 解决线段上的动点问题一般需注意：(1)找准点的各种可能的位置；(2)通常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长(有可能是常数，那就是定值)，再由题意列方程求解．线段上动点与中点问题的综合1．(1)如图①，AB＝16，点D是AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由．(2)如图②，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由．(3)你能用一句话描述你发现的结论吗？(第1题)20,线段上动点问题中的存在性问题2．如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为－2、6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.(第2题)(1)PA＝________；PB＝________(用含x的式子表示)；(2)在数轴上是否存在这样的点P(不与A，B重合)，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)点P以1个单位长度/s的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位长度/s的速度向左运动，点B以20个单位长度/s的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是AP，OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．20,线段和差倍分关系中的动点问题3．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．(1)出发多少秒后，PB＝2AM?(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值．(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，有下列两个结论：①MN长度不变；②MA＋PN的值不变．判断两个结论的正误．(第3题)专训五：巧用角平分线的有关计算名师点金： 角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线入手找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．角平分线的夹角问题(分类讨论思想)1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．20,巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD的夹角是多少度？(第2题)巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)3．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．(第3题)20,巧用角平分线解决角的推理证明问题(转化思想)4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由．(第4题)专训六：巧用角平分线的有关计算名师点金： 时钟时针、分针转动角度的问题，要注意时针转动一大格，转过角度为周角的十二分之一，即30°.每一个大格之间又分为五个小格，每个小格对应的角度是6°.注意时针与分针转动角度的速度比是1∶12，时针转动30°，分针转动360°；分针与秒针转动角度的速度比是1∶60，分针转动6°(一个小格)，秒针转动360°.利用时间求角度类型一：按固定时间求角度120,．(1)从上午11时到下午1时30分，这期间时针转过了________；下午1：30，时针、分针的夹角是________．(2)3点20分时，时针与分针的夹角是多少度？类型二：按动态时间求角度2．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题，他想和大家一起来讨论相关问题．(1)分针每分钟转6度，时针每分钟转________度．(2)你能指出下面各个图中时针与分针之间夹角的大小吗？图①的钟面角为________度，图②的钟面角为________度．(第2题)(3)12：00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？20,利用角度求时间(方程思想)3．如图，观察时钟，解答下列问题：(1)在2时和3时之间什么时刻，时针和分针的夹角为直角？(第3题)(2)小明下午五点多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°，下午不到六点回家时，发现时针与分针的夹角又为90°，那么小明外出了多长时间？20,答案专训一1．C 2.④；①③⑥3．解：(1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为锥体；②为球体．(答案不唯一)(2)③是圆柱，圆柱的上、下底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面是完全相同的五边形，侧面是5个长方形．相同点：两者都有两个底面．不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形．圆柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成．4．C 5.有 6.①③④⑤⑥；②③④⑥7．解：有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦.专训二1．B2．解：图①②③④⑥都是正方体的平面展开图．3．解：(1)如果面A是长方体的上面，那么面C会在下面．(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么向外折时面B会在前面，向里折时面D会在前面．4．解：①三棱锥；②四棱锥；③五棱锥；④三棱柱；⑤圆柱；⑥圆锥．点拨：棱锥和棱柱的共同点是棱锥、棱柱都是以底面多边形的边数来命名的，如三棱锥是指底面为三角形的棱锥，而五棱柱是指底面为五边形的棱柱．它们的不同点是棱柱的侧棱互相平行，而棱锥的侧棱交于一点．5．(8n－4) 点拨：从下往上数只有两个面涂色的小立方体个数，图①中：第一层4个，第二层0个；图②中：第一层4个，第二层4个，第三层4个；图③中：第一层4个，第二层4个，第三层4个，第四层8个，故第○n个几何体中涂两个面的小立方体有[4n＋4(n－1)]个，即(8n－4)个．20,6．解：能围成，体积为40×70×65＝182000(cm3)．答：体积为182000cm3.专训三1．解：(1)分两种情况：①当点C在线段AB上时，如图①，因为M为AB的中点，所以MB＝AB＝×20＝10(cm)．因为N为BC的中点，所以BN＝BC＝×8＝4(cm)，所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)；(第1题)②当点C在线段AB的延长线上时，如图②，因为M为AB的中点，所以MB＝AB＝×20＝10(cm)．因为N为BC的中点，所以BN＝BC＝×8＝4(cm)，所以MN＝MB＋BN＝10＋4＝14(cm)．(2)MN＝(a＋b)或MN＝(a－b)．2．解：如图．(第2题)(1)因为BN＝3BM，所以BM＝MN.因为MN＝3cm，所以BM＝×3＝1.5(cm)．(2)因为AN＝MN，MN＝3cm.所以AN＝1.5cm.(3)因为MN＝3cm，MQ＝NQ，所以MQ＝NQ＝1.5cm.所以BQ＝BM＋MQ＝1.5＋1.5＝3(cm)，AQ＝AN＋NQ＝1.5＋1.5＝3(cm)．所以BQ＝QA.所以点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点．3．解：设AB＝2kcm，则BC＝4kcm，CD＝3kcm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm20,)．因为CD＝6cm，即3k＝6，所以k＝2，则AD＝18cm.又因为M是AD的中点，所以MD＝AD＝×18＝9(cm)．所以MC＝MD－CD＝9－6＝3(cm)．4．解：(1)设运动时间为x秒，依题意得x＋3＝12－4x，解得x＝1.8.答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间．(2)设运动时间为t秒．①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1；②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9.答：1秒或9秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2.专训四1．解：(1)能．MN＝DM＋DN＝AD＋BD＝(AD＋BD)＝AB＝8.(2)能．MN＝MD－DN＝AD－BD＝(AD－BD)＝AB＝8.(3)若点D在线段AB或线段AB的延长线上，点M，N分别是AD，DB的中点，则MN＝AB.2．解：(1)|x＋2|；|x－6|(2)存在．分三种情况：①当点P在A，B之间时，PA＋PB＝8，故舍去；②当点P在B点右边时，PA＝x＋2，PB＝x－6，因为(x＋2)＋(x－6)＝10，所以x＝7；③当点P在A点左边时，PA＝－x－2，PB＝6－x，因为(－x－2)＋(6－x)＝10，所以x＝－3.所以当x＝－3或7时，PA＋PB＝10，(3)的值不发生变化，理由如下：设运动时间为ts.则OP＝t，OA＝5t＋2，OB＝20t＋6，所以AP＝OA＋OP＝6t＋2，AB＝OA＋OB＝25t＋8，ON＝OB＝10t＋3，所以AB－OP＝24t＋8，AM＝AP＝3t＋1，所以OM＝OA－AM＝5t＋2－(3t＋1)＝2t＋1，所以MN＝OM＋ON＝12t＋4，所以＝＝2，故的值不发生变化．320,．解：(1)设出发x秒后，PB＝2AM，则PA＝2x，PB＝24－2x，所以AM＝x，所以24－2x＝2x，即x＝6.所以出发6秒后，PB＝2AM.(2)因为BM＝AB－AM＝24－x，PB＝24－2x，所以2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM－BP为定值．(3)易知PA＝2x，AM＝PM＝x，所以PB＝2x－24，所以PN＝PB＝x－12，所以①MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.所以MN长度不变，为定值，即结论①正确；②MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，所以MA＋PN的值是变化的，即结论②不正确．专训五1．解：(1)如图①，当OC落在∠AOB的内部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.(第1题)(2)如图②，当OC落在∠AOB的外部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋30°＝80°.综上可知，∠MON的度数为20°或80°.点拨：本题已知没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．2．解：因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.因为∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.又因为这四个角的和是180°，20,所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝×180°＝90°.即两折痕BC与BD的夹角为90°.点拨：本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系．3．解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝(∠AOC＋∠BOC)＝x.又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，所以19°＝x－x，解得x＝38°.所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.点拨：根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程，求出角的度数，体现了方程思想的运用．4．解：∠DOE＝∠COF.理由如下：因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝∠AOB.因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝∠BOC.所以∠DOB＋∠BOF＝∠AOB＋∠BOC＝∠AOC，即∠DOF＝∠AOC.又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC，所以∠DOF＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.点拨：欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与∠EOC的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有∠AOC＝2∠EOC，即可转化成∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．专训六1．解：(1)75°；135°(2)时针每小时转30°，分针每分钟转6°.时针从指向12开始转过的角度为3×30°＝100°，分针从指向12开始转过的角度为20×6°＝120°，120°－100°＝20°，即3点20分时，时针与分针的夹角是20°.2．解：(1)0.5 (2)30；22.5(3)设x分钟后分针与时针再次重合，则6x－0.5x＝360，解得x＝，即经过分钟会再次出现时针与分针重合的现象．20,×0.5°＝°，×6°＝°.答：时针转了°，分针转了°.3．解：(1)设从2时经过x分钟，分针与时针的夹角为直角，依题意，有×6°＝90°，解得x＝.答：在2时分时，时针和分针的夹角为直角．(2)设小明外出了y分钟，则时针走了0.5y度，分针走了6y度．根据题意，列方程为6y＝90＋0.5y＋90，解得y＝.答：小明外出了分钟．点拨：在钟表问题中，常利用时针与分针的转动度数关系：分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系．20
