图1案例3 等边对等角教学片断常规教学：关于“等边对等角”的教学，华师版《义务教育教科书·数学》八年级上册的设计是：如图1，（1）折叠等腰三角形半透明纸片，使AB、AC重合；（2）观察、发现，并提出猜想：∠B＝∠C；（3）作∠BAC的平分线AD进行证明．这个设计合理，教师一般采用这个教学设计进行教学，并引导学生探讨作底边上的中线和底边上的高的方法．【教学讨论】（1）这个设计让学生经历“操作感知——观察猜想——证明结论”的过程，并感受了同一个问题证明的多样性．（2）在实际教学中要防止学生“被经历”，缺乏真正的主体经历．就三种辅助线作法而言，是怎样想到的呢？根在哪里呢？实际上追根溯源，在于折叠时怎样确定AD，所以在作辅助线时，应向学生提问：折叠△ABC时，你们是怎样确定AD的？除了对折∠BAC外，还有其它方式确定AD吗？学生经历了亲身操作，这是学生能想到的．图2（3）学生能想到的，未必是学生能做到的．在作底边上的高AD3
证明时，会遇到如下的问题，而且这个问题往往也被老师忽略．如图2，作△ABC的底边BC上的高，怎么知道点D就在底边BC的内部（不含点B和C）．事实上，这需要依次排除：图3当点D在点B处时，根据“垂线段最段”，AC＞AB，这与已知AB＝AC矛盾；当点D在点C处时，同理不可能．当点D在BC的延长线上时，如图3，作BC的中垂线EH，点H为垂足，点E为与AB的交点，连结EC．易证△BEH≌△CEH，所以EC＝EB，在△AEC中，AE＋EC＞AC，又AB＝AE＋EB＝AE＋EC，所以AB＞AC，也与已知AB＝AC矛盾；当点D在CB的延长上时，同理不可能．综上，点D在底边BC的内部（不含点B和C）．这显然是学生想不到的，但问题已经提出来，学生一定会想：这可怎么办呢？这是可贵的求知欲，理当得到满足．这就让学生在感受同一个问题证明的多样性时，充分体会了不同证法导致的差异性，也很好的感受了数学的严谨性，受到了数学理性精神的洗礼．基于定理生成的教学：根据上述讨论，对“等边对等角”的教学可作如下调整：3
（1）折叠等腰三角形半透明纸片，使AB、AC重合；图1（2）观察、发现，并提出猜想：∠B＝∠C；（3）图中的AD，你是用什么方式得到的？由此，你想到了作什么样的辅助线？（4）作∠BAC的平分线AD，并证明；（5）探讨辅助线AD的其它作法，作底边上的中线的方法由学生自主完成，作底边上的高的方法，教师引导质疑问难，培养学生理性精神．3
