1.探索并掌握等腰三角形的概念和两个性质。2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题。学习目标
等腰三角形情境引入
有两条边相等的三角形叫等腰三角形ACB腰腰底边顶角底角底角等腰三角形的概念等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
如图所示,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC是什么三角形?具有什么特点?ABCD观察剪出的图形△ABC,可以发现是等腰三角形,AB=AC.活动1:探究等腰三角形的性质
等腰三角形是轴对称图形吗?思考是把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角.找一找
重合的线段重合的角ACBDAB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C.∠BAD=∠CAD∠ADB=∠ADC等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现其它的性质吗?说说你的猜想?想一想
②∠B=∠C两个底角相等③BD=CDAD为底边BC上的中线④∠BAD=∠CADAD为顶角∠BAC的平分线⑤∠ADB=∠ADC=90°AD为底边BC上的高①折叠的两部分互相重合是轴对称图形现象结论ABCD等腰三角形的性质:性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.(简称为“三线合一”)
性质一:等腰三角形的两个底角相等。(简写成“等边对等角”)已知:△ABC中,AB=AC求证:∠B=C分析:1.如何证明两个角相等?2.如何构造两个全等的三角形?ABCD几何语言:在△ABC中,∵AB=AC∴________=________∠B∠C活动2:证明等腰三角形的性质
ABC则有∠1=∠2D12在△ABD和△ACD中证明:作顶角的平分线AD,AB=AC∠1=∠2AD=AD(公共边)∴△ABD≌△ACD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)方法一
ABC则有BD=CDD在△ABD和△ACD中证明:作△ABC的中线ADAB=ACBD=CDAD=AD(公共边)∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)方法二
ABC则有∠ADB=∠ADC=90ºD在Rt△ABD和Rt△ACD中证明:作△ABC的高线ADAB=ACAD=AD(公共边)∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)方法三
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成三线合一)性质2(1)∵AB=AC,AD是角平分线,∴______⊥______,________=________;(2)∵AB=AC,AD是中线,∴⊥,∠=∠____;(3)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠_____=∠______,_____=______几何语言:ABCDADBCBDCDADBCBADCADBADCADBDCD
例1如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.ABCD【解析】∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°,在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2xx活动3:等腰三角形性质的运用
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.(X)(X)(X)(X)(√)(√)辨一辨随堂练习活动3:等腰三角形性质的运用
2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC的大小为( )A.40°B.30°C.70°D.50°A1.等腰三角形有一个角是90°,则另两个角分别是( )A.30°,60°B.45°,45°C.45°,90°D.20°,70°B随堂练习活动3:等腰三角形性质的运用
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为______;(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________;(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为______.75°,30°72°,72°或36°,108°30°,30°随堂练习活动3:等腰三角形性质的运用
(三线合一)活动3:等腰三角形性质的运用
轴对称图形两个底角相等,简称“等边对等角”顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合,简称“三线合一”等腰三角形的性质