角平分线的性质第一课时
不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?AOBC活动1再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?(对折)情境问题
1、如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?
2、证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)ADBCE
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)OABCE探究新知活动3NOMCENM
2.分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.如何用尺规作角的平分线?ABOMNC作法:1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OBN于.3.作射线OC.则射线OC即为所求.
1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?ABOCD
探究角平分线的性质(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明:在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠1=∠2OP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PEPAOBCED12已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线的性质∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO
角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP是∠AOB的角平分线又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角平分线上的性质)AOBEDP证明线段相等有角的平分线,有垂直距离应用定理的前提条件是:定理的作用:
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,点D是BC中点,过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点D作DF⊥AC交AC于点F.求证:EB=FC.ABEDCF证明:∵AD平分∠CABDE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF(角平分线的性质)在Rt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF(已证)BD=CD(已知)∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=CF(全等三角形对应边相等)
思考:要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处500米,应建在何处?(比例尺1:20000)SO公路铁路
2.在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AB于点E,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的长。EDCBA
例1已知:在等腰Rt△ABC中,AC=BC∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E。求证:BD+DE=AC变式已知AB=15cm,求△DBE的周长EDCBA
小结:1:画一个已知角的角平分线;(注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线;2:角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3:角平分线的性质的应用