第二十四章《圆》24.1.2《垂直于弦的直径》第一课时教学设计盐亭县城关中学王小云教材分析本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。教学目标知识技能探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．数学思考在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．解决问题进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．情感目标①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。教学重难点教学重点垂径定理及其应用教学难点对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明教学关键圆的轴对称性教法探究发现法1．引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理。2．结合数学环境，适时利用多媒体教学手段，帮助学生在感性认识的基础上加深对定理的理解和应用，从而获得广泛数学经验。
学法指导观察归纳通过本节课的教学，我应引导学生学会观察、归纳的学习方法。培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论。鼓励他们合作交流、发扬集体主义精神。教具准备自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规教学流程设计环节教师活动学生活动设计意图实例导入激疑引趣问题：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，它的桥拱有28根重达一吨的巨石条镶嵌而成，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。你能求桥拱的半径吗？导入：（如图）赵州桥的桥拱呈什么形状？它的跨度（弧所对的弦长）为多少米？拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为多少米？请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？让学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。尝试诱导发现定理演示：把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，分化了难点。通过全体学生参与实验，逐步导出新课。教具：引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题——垂直于弦的直径操作：请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。思考：（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？E猜想：（垂径定理）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。图形语言强调“垂”与“径”缺一不可归纳：首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证。符号语言⌒⌒⌒⌒为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。
引导探究证明定理引导：①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。验证：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。自主探究、合作交流的方式完成，看哪个小组证得又快、又好，小组展示成果。最后师生共同演示、验证猜想的正确性。增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学最深切的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.求证：CD⊥AB，且弧AD=弧BD,弧AC=弧BC.归纳：（垂径定理的推论）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。证明：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴弧AD=BD,弧AC=BC符号∵CD是直径，AE=BE语言∴CD⊥AB,弧AC=BC,弧AD=BD.验证：学生通过画图说明理由·OABCDE拓展探究延伸定理总结：“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.推论：如图,在下列五个条件中:①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM,④弧AC=BC,⑤弧AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!CDM└●OAB条件结论命题①②③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.①③②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.①④②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.①⑤②③④②③①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.②④①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.②⑤①③④③④①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.③⑤①②④④⑤①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
辨别是非巩固定理在下列图形（如图(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。如此设计可调动学生积极性，使其更深入地掌握定理的内涵，提高学生归纳、概括的能力。判断下列说法的正误：①平分弧的直径必平分弧所对的弦；②平分弦的直线必垂直弦；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤弦的垂直平分线是圆的直径；⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦；⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。对此两题学生同桌讨论，辨别是非，抽学生回答并说明理由。例题示范变式练习〖例1〗如图1，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。解：（略）学生口述，教师板书。〖变式一〗在图5中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=。思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则R、a、d三者之间的关系式是。〖变式二〗如图2，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径=。思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）〖例2〗教材P82.计算赵州桥桥拱半径的问题师生共同分析，完成解答过程；可有学生口述，教师板书。（图1）全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目，做完后展示成果，最后总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了(图2)
〖例3〗已知：如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC＝BD。分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？（证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC）②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。证法二：过点O作OE⊥AB于E，用“垂径定理”证明。〖变式一〗若AC=2，AB=10，则圆环的面积是。〖变式二〗若将图中的大圆隐去，还需什么条件，才能保证AC=BD？思考题：已知：在⊙O中，弦AB与CD互相平行。求证：弧AC＝弧BD。（图3）通过两种证明方法的比较，选择最优证法。辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。（图4）师生小结纳入系统1．垂径定理的三种基本图形——如图5、6、7。（图5）（图6）（图7）2．计算中三个量的关系——如图8，。口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了。（图8）技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。重要思路：（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程，构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。通过例题联系，让学生进一步领悟到转化、类比、数形结合与方程的数学思想与方法在实际中的应用。通过证明线段相等的变式题，展示出图形之间的内在关系，增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线，利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦这一性质来解决一系列类似问题。让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。
达标检测反馈效果1、过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,OM=3㎝,那么过点O的最短弦长是2、如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为，∠AOB＝度。3、作图题：①经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点。②已知弧AB，求作弧AB的四等分点4、已知：如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E。求证：四边形ADOE是正方形。5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝，以C为圆心、CA长为半径画弧，交斜边AB于D，求AD的长。6、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分梯度给出，目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高。使学有余力的同学飞得更高，视野更开阔，提高他们的转化能力，培养数学建模意识。设计说明突出特色本节课力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，教师要注意角色的转变，成为学生学习的组织者、参与者、合作者，教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验——观察——猜想——证明——应用”，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力。
